Définition d’un Sous-Groupe
Un sous-groupe est une partie d’un groupe qui est elle-même un groupe pour la même loi. C’est l’une des notions les plus importantes de la théorie des groupes, car elle permet d’étudier la structure interne d’un groupe en identifiant des « sous-structures » plus petites et plus simples.
Soit $(G, \star)$ un groupe et $H$ une partie de $G$.
On dit que $H$ est un sous-groupe de $G$ si :
- $H$ est non vide.
- $H$ est stable pour la loi $\star$ (c’est-à-dire $\forall (x, y) \in H^2, x \star y \in H$).
- Tout élément de $H$ admet un symétrique dans $H$ (c’est-à-dire $\forall x \in H, x’ \in H$).
Si ces conditions sont remplies, alors $(H, \star)$ est lui-même un groupe.
Pour prouver qu’une partie $H$ est un sous-groupe de $G$, il est souvent plus simple d’utiliser la caractérisation suivante :
$H$ est un sous-groupe de $(G, \star)$ si et seulement si :
- $H$ est non vide (on vérifie souvent que l’élément neutre $e$ est dans $H$).
- Pour tous $x, y$ dans $H$, le composé $x \star y’$ est encore dans $H$.
$\forall (x, y) \in H^2, \quad x \star y’ \in H$.
Exemples Fondamentaux
- Sous-groupes triviaux : Dans tout groupe $G$, $\{e\}$ (le sous-groupe réduit à l’élément neutre) et $G$ lui-même sont toujours des sous-groupes.
- Sous-groupes de $(\mathbb{Z}, +)$ : Les sous-groupes de $(\mathbb{Z}, +)$ sont exactement les ensembles de la forme $n\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\}$ pour un entier $n \ge 0$. Par exemple, l’ensemble des entiers pairs $2\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$.
- $(\mathbb{Z}, +)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}, +)$.
- L’ensemble des nombres complexes de module 1, noté $\mathbb{U}$, est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$.