Base d’une Topologie
Définir une topologie en listant tous ses ouverts peut être fastidieux, voire impossible si l’ensemble est infini. La notion de base de topologie permet de simplifier ce processus en ne décrivant qu’une collection « génératrice » d’ouverts. Tous les autres ouverts pourront alors être obtenus par union des éléments de cette base.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. Une famille $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$ de parties ouvertes de $X$ est une base de la topologie $\mathcal{T}$ si tout ouvert de $\mathcal{T}$ peut s’écrire comme une union (finie ou infinie) d’éléments de $\mathcal{B}$.
Autrement dit, pour tout ouvert $O \in \mathcal{T}$ et pour tout point $x \in O$, il existe un ouvert de la base $B \in \mathcal{B}$ tel que : $$x \in B \subseteq O$$
Générer une Topologie
L’intérêt principal d’une base est qu’elle permet de définir une topologie. On peut partir d’une simple collection de parties $\mathcal{B}$ et construire la topologie qu’elle engendre. Les ouverts de cette topologie seront alors toutes les unions possibles d’éléments de $\mathcal{B}$.
Pour qu’une famille $\mathcal{B}$ de parties de $X$ puisse être la base d’une topologie, elle doit vérifier deux conditions :
- L’union de tous les éléments de $\mathcal{B}$ doit recouvrir $X$ (i.e., $\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = X$).
- Pour tous $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$ et tout $x \in B_1 \cap B_2$, il doit exister un $B_3 \in \mathcal{B}$ tel que $x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$.
Exemple : La Base de la Topologie Usuelle sur $\mathbb{R}$
La topologie usuelle sur l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ est définie par une base très intuitive.
La collection $\mathcal{B}$ de tous les intervalles ouverts $]a, b[$ (avec $a < b$) forme une base de la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$.
En effet, tout ensemble ouvert non vide de $\mathbb{R}$ (comme par exemple $]0, 1[ \cup ]2, 3[$) peut être décrit comme une union d’intervalles ouverts. Cette base est beaucoup plus simple à décrire que l’ensemble de tous les ouverts possibles de $\mathbb{R}$.