Base de Voisinages d’un Point
Tout comme une base de topologie permet de générer tous les ouverts, une base de voisinages d’un point permet de décrire tous les voisinages de ce point de manière plus économique. Cette notion est particulièrement utile pour étudier les propriétés locales, comme la convergence des suites ou la continuité des fonctions.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et $x$ un point de $X$. Soit $\mathcal{V}_x$ l’ensemble de tous les voisinages de $x$.
Une famille $\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{V}_x$ de voisinages de $x$ est une base de voisinages de $x$ si tout voisinage de $x$ contient au moins un élément de cette base.
Formellement, pour tout voisinage $V \in \mathcal{V}_x$, il existe un voisinage $B \in \mathcal{B}_x$ tel que : $$ B \subseteq V $$
Avec une base de voisinages $\mathcal{B}_x$, on peut caractériser n’importe quel voisinage de $x$.
Une partie $V \subseteq X$ est un voisinage de $x$ si et seulement si il existe un élément $B$ de la base de voisinages $\mathcal{B}_x$ tel que $B \subseteq V$.
Exemple : Base de Voisinages dans $\mathbb{R}$
Considérons l’espace topologique $(\mathbb{R}, \mathcal{T}_{usuelle})$ et un point $x_0 \in \mathbb{R}$. La collection de tous les voisinages de $x_0$ est infinie et complexe à décrire.
Cependant, on peut définir une base de voisinages très simple pour $x_0$ : la famille des intervalles ouverts centrés en $x_0$. $$ \mathcal{B}_{x_0} = \{ ]x_0 – \epsilon, x_0 + \epsilon[ \mid \epsilon > 0 \} $$ En effet, tout voisinage $V$ de $x_0$ contient par définition un ouvert $O$ tel que $x_0 \in O$. Comme les intervalles ouverts forment une base de la topologie, cet ouvert $O$ contient lui-même un intervalle ouvert $]a,b[$ contenant $x_0$. Il suffit alors de choisir $\epsilon$ assez petit pour que l’intervalle $]x_0 – \epsilon, x_0 + \epsilon[$ soit inclus dans $]a,b[$, et donc dans $V$.