Définition d’une Loi de Composition Interne
Une loi de composition interne est le concept le plus fondamental de l’algèbre. C’est une règle qui permet de « composer » deux éléments d’un ensemble pour en obtenir un troisième, qui doit lui-même appartenir à l’ensemble. C’est la brique de base sur laquelle sont construites toutes les structures algébriques comme les groupes, les anneaux et les corps.
Soit $E$ un ensemble non vide. Une loi de composition interne (souvent abrégée en LCI) sur $E$ est une application de $E \times E$ dans $E$. $$ \begin{array}{rcl} \star \, : \, E \times E & \to & E \\ (x, y) & \mapsto & x \star y \end{array} $$ Le résultat $x \star y$ est appelé le composé de $x$ et de $y$.
Points Clés de la Définition
- Interne : Le mot « interne » est crucial. Il signifie que le résultat de la composition de deux éléments de $E$ doit obligatoirement rester dans $E$. On dit que l’ensemble $E$ est stable pour la loi $\star$.
- Application : Une loi de composition doit être définie pour toute paire d’éléments de $E$.
Un couple $(E, \star)$ formé d’un ensemble non vide $E$ et d’une loi de composition interne $\star$ sur $E$ est appelé un magma (ou parfois groupoïde).
Exemples Fondamentaux
- L’addition (+) sur $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ : C’est une loi de composition interne. La somme de deux entiers est un entier, la somme de deux réels est un réel, etc.
- La multiplication ($\times$) sur $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ : C’est aussi une loi de composition interne.
- La soustraction (-) sur $\mathbb{Z}$ : C’est une LCI. Mais ce n’est pas une LCI sur $\mathbb{N}$ (par exemple, $3 – 5 = -2 \notin \mathbb{N}$).
- La composition de fonctions ($\circ$) : Sur l’ensemble $\mathcal{F}(E, E)$ des applications de $E$ dans $E$, la composition est une loi interne.