Définition d’une Norme Vectorielle
En algèbre linéaire, la notion de norme généralise l’idée de « longueur » ou de « magnitude » d’un vecteur. C’est une fonction qui associe à chaque vecteur d’un espace vectoriel un nombre réel positif, et qui respecte certaines propriétés fondamentales liées à la structure de l’espace.
Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (typiquement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Une norme sur $E$ est une application $\| \cdot \|: E \to \mathbb{R}_+$ qui à tout vecteur $x \in E$ associe un nombre réel positif $\|x\|$ et qui vérifie les trois axiomes suivants :
- Séparation : $\|x\| = 0 \iff x = 0_E$. (Seul le vecteur nul a une longueur nulle).
- Homogénéité : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, \ \|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$. (Changer l’échelle d’un vecteur change sa longueur proportionnellement).
- Inégalité triangulaire (ou sous-additivité) : $\forall (x, y) \in E^2, \ \|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$. (La longueur d’une somme est inférieure ou égale à la somme des longueurs).
Un espace vectoriel normé (noté EVN) est un couple $(E, \| \cdot \|)$ où $E$ est un espace vectoriel et $\| \cdot \|$ est une norme sur $E$.
Exemples Fondamentaux
- Sur $\mathbb{R}$ : La valeur absolue $| \cdot |$ est une norme. C’est la norme la plus naturelle.
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Sur $\mathbb{R}^n$ : Les trois normes usuelles sont :
- La norme euclidienne (ou norme 2) : $\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}$.
- La norme 1 : $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|$.
- La norme infinie : $\|x\|_\infty = \max_{1 \le i \le n} |x_i|$.
- Sur $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})$ : La norme de la convergence uniforme est définie par $\|f\|_\infty = \sup_{t \in [a, b]} |f(t)|$.