Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension 3. Pour tout couple de vecteurs $(u, v)$ de $E$, il existe un unique vecteur $w \in E$ qui vérifie la relation suivante pour tout vecteur $x \in E$ : $$ \det(u, v, x) = \langle x, w \rangle $$ Ce vecteur unique $w$ est appelé le produit vectoriel de $u$ et $v$, et il est noté $u \land v$.
Démonstration
Pour un couple $(u,v)$ fixé, considérons l’application $\varphi: E \to \mathbb{R}$ définie par $\varphi(x) = \det(u, v, x)$. Le déterminant étant une forme trilinéaire, l’application $\varphi$ est linéaire en $x$ lorsque $u$ et $v$ sont fixés. C’est donc une forme linéaire sur $E$.
D’après le théorème de représentation de Riesz dans un espace euclidien, pour toute forme linéaire $\varphi$, il existe un unique vecteur $w \in E$ tel que $\varphi(x) = \langle x, w \rangle$ pour tout $x$. L’existence et l’unicité du produit vectoriel sont donc établies.
Remarque
- La relation $\forall x \in E, \det(u, v, x) = \langle x, u \land v \rangle$ est la définition intrinsèque du produit vectoriel.
- Dans une base orthonormale directe $(e_1, e_2, e_3)$, les coordonnées de $u \land v$ sont données par les déterminants des sous-matrices. Si $u=(u_1, u_2, u_3)$ et $v=(v_1, v_2, v_3)$, alors : $$ u \land v = (u_2v_3 – u_3v_2)e_1 + (u_3v_1 – u_1v_3)e_2 + (u_1v_2 – u_2v_1)e_3 $$
- Pour la base orthonormale directe elle-même, on a les relations cycliques : $e_1 \land e_2 = e_3$, $e_2 \land e_3 = e_1$, et $e_3 \land e_1 = e_2$.
Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension 3.
- L’application $(u,v) \mapsto u \land v$ est bilinéaire et antisymétrique ($u \land v = -v \land u$).
- Le produit vectoriel $u \land v$ est orthogonal à la fois à $u$ et à $v$.
- Le produit vectoriel $u \land v$ est nul si et seulement si la famille $(u,v)$ est liée.
Démonstration
i) La bilinéarité et l’antisymétrie découlent directement des propriétés correspondantes du déterminant dans la définition $\langle x, u \land v \rangle = \det(u,v,x)$.
ii) On a $\langle u \land v, u \rangle = \det(u,v,u) = 0$ et $\langle u \land v, v \rangle = \det(u,v,v) = 0$, car le déterminant est nul si deux de ses vecteurs sont identiques.
iii) Si $(u,v)$ est liée, alors pour tout $x$, la famille $(u,v,x)$ est liée et $\det(u,v,x)=0$. Le seul vecteur orthogonal à tout l’espace est le vecteur nul, donc $u \land v = 0$. Réciproquement, si $u \land v = 0$, alors $\det(u,v,x)=0$ pour tout $x$. Si $(u,v)$ était libre, on pourrait la compléter en une base $(u,v,x_0)$, pour laquelle le déterminant serait non nul, ce qui est une contradiction. Donc $(u,v)$ est liée.
Remarque
Si la famille $(u,v)$ est libre, alors $(u,v, u \land v)$ est une base de $E$. En effet, son déterminant est $\det(u,v,u \land v) = \langle u \land v, u \land v \rangle = \|u \land v\|^2$, qui est strictement positif car $u \land v \neq 0$. La base est donc directe.
Pour tous vecteurs $u, v$ d’un espace euclidien orienté de dimension 3, on a : $$ \|u \land v\|^2 = \|u\|^2 \|v\|^2 – (\langle u, v \rangle)^2 $$
Remarque
Si $u$ et $v$ sont deux vecteurs non nuls, on peut définir l’angle non orienté $\theta \in [0, \pi]$ entre eux par $\cos(\theta) = \frac{\langle u,v \rangle}{\|u\|\|v\|}$. L’identité de Lagrange implique alors que $\|u \land v\| = \|u\|\|v\|\sin(\theta)$.
Pour tous vecteurs $u, v, w$ d’un espace euclidien orienté de dimension 3, on a : $$ u \land (v \land w) = \langle u, w \rangle v – \langle u, v \rangle w $$
Remarque
On a également $(u \land v) \land w = \langle u, w \rangle v – \langle v, w \rangle u$. Le produit vectoriel n’est donc pas associatif. L’égalité $u \land (v \land w) = (u \land v) \land w$ n’a lieu que si les vecteurs sont liés d’une manière spécifique (par exemple, si $v$ est orthogonal à $u$ et $w$).