Définition Locale d’une Fonction
En mathématiques, de nombreuses courbes ou surfaces ne sont pas décrites par une équation de la forme « explicite » $y=f(x)$, mais par une relation « implicite » de la forme $g(x,y)=k$. Par exemple, le cercle unité est décrit par $x^2+y^2=1$. Il n’est pas le graphe d’une seule fonction (il échoue au « test de la ligne verticale »).
[Image d’un cercle unité dans le plan xy]Cependant, si l’on se concentre sur un petit morceau du cercle, on peut souvent le voir comme le graphe d’une fonction. C’est l’idée de définition locale d’une fonction. Le théorème des fonctions implicites nous donne précisément les conditions sous lesquelles une équation implicite définit localement une variable comme une fonction des autres.
1. Le Problème de l’Explicitation
Soit une équation $g(x,y)=k$ et un point $(a,b)$ qui vérifie cette équation.
Existe-t-il un petit intervalle $I$ autour de $a$ et une fonction $\phi: I \to \mathbb{R}$ tels que, pour tout $x$ dans cet intervalle, l’équation $g(x,y)=k$ a pour unique solution $y=\phi(x)$ au voisinage de $b$ ?
Si oui, on dit que l’équation $g(x,y)=k$ définit implicitement $y$ comme une fonction de $x$ au voisinage du point $(a,b)$.
Exemple du Cercle Unité
Soit l’équation $g(x,y) = x^2+y^2=1$.
- Au voisinage du point (0,1) : On peut « résoudre » l’équation pour $y$. Sur le demi-cercle supérieur, on a $y = \sqrt{1-x^2}$. Localement autour de $x=0$, la courbe est bien le graphe de la fonction $\phi(x) = \sqrt{1-x^2}$.
- Au voisinage du point (0,-1) : De même, on peut écrire $y = -\sqrt{1-x^2}$. La courbe est localement le graphe de la fonction $\psi(x) = -\sqrt{1-x^2}$.
- Au voisinage du point (1,0) : C’est ici que le problème se pose. Si on zoome sur le point $(1,0)$, pour une valeur de $x$ juste inférieure à 1 (par exemple $x=0.99$), il y a deux valeurs possibles de $y$ (une positive et une négative). Il est impossible de définir $y$ comme une fonction de $x$ dans un voisinage de $x=1$ qui contiendrait $y=0$.
2. La Condition Géométrique : la Tangente Verticale
L’échec au point $(1,0)$ a une cause géométrique simple : la tangente au cercle en ce point est verticale.
Une courbe ne peut pas être décrite localement comme le graphe d’une fonction $y=\phi(x)$ en un point où sa tangente est verticale. En un tel point, la variation de $y$ par rapport à $x$ est « infinie ».
Comment détecter une tangente verticale ? On sait que le gradient $\nabla g(a,b) = (\frac{\partial g}{\partial x}(a,b), \frac{\partial g}{\partial y}(a,b))$ est normal à la courbe. Une tangente verticale a lieu si le vecteur normal est horizontal. Cela signifie que la composante verticale du vecteur normal est nulle.
Une équation $g(x,y)=k$ ne peut pas définir localement $y$ comme une fonction de $x$ en un point $(a,b)$ si la dérivée partielle de $g$ par rapport à $y$ s’annule en ce point : $$ \frac{\partial g}{\partial y}(a,b) = 0 $$
Vérification sur le cercle : $g(x,y) = x^2+y^2$. $\frac{\partial g}{\partial y} = 2y$.
Cette dérivée s’annule si $y=0$. Les points du cercle où $y=0$ sont $(1,0)$ et $(-1,0)$. Ce sont précisément les deux points où la tangente est verticale et où l’on ne peut pas définir $y$ comme une fonction de $x$.
Le théorème des fonctions implicites est la formalisation rigoureuse de cette idée : si cette dérivée partielle n’est PAS nulle, alors on peut garantir l’existence de la fonction implicite locale $\phi$.