Définition formelle du demi-plan de Poincaré
Le demi-plan de Poincaré, noté $\mathbb{H}$, est le modèle canonique de la géométrie hyperbolique de dimension $2$. Il s’agit de l’espace métrique complet où la courbure sectionnelle vaut constamment $-1$.
Sous-ensemble de $\mathbb{R}^2$
On considère le demi-plan supérieur :
$$
\mathbb{H} = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y > 0 \}.
$$
La topologie est celle induite par la topologie euclidienne de $\mathbb{R}^2$.
Métrique riemannienne hyperbolique
Sur $\mathbb{H}$, on définit la métrique riemannienne :
$$
\mathrm{d}s^2 = \frac{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2}{y^2}.
$$
Cette forme bilinéaire symétrique positive définie en chaque point donne la longueur d’une courbe paramétrée $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ par :
$$
L(\gamma) = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2}}{y(t)} \, \mathrm{d}t.
$$
La distance riemannienne entre deux points est l’infimum des longueurs des chemins les reliant.
Théorèmes et propriétés fondamentales
Groupe des isométries
Le groupe des isométries de $(\mathbb{H}, g)$ est exactement $\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$, agissant par transformations de Möbius.
Théorème (Invariance) : Pour tout $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{R})$, l’application
$$
z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}
$$
où $z = x + iy$, est une isométrie de $\mathbb{H}$. Réciproquement, toute isométrie de $\mathbb{H}$ provient d’un tel lemme.
Preuve :
On vérifie que la métrique $\frac{|\mathrm{d}z|^2}{(\Im z)^2}$ est invariante. Écrivons $w = f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$. Alors $\mathrm{d}w = \frac{a\mathrm{d}z(cz+d) – (az+b)c\mathrm{d}z}{(cz+d)^2} = \frac{\mathrm{d}z}{(cz+d)^2}(ad-bc) = \frac{\mathrm{d}z}{(cz+d)^2}$ car $ad-bc=1$.
Donc $|\mathrm{d}w| = \frac{|\mathrm{d}z|}{|cz+d|^2}$.
Par ailleurs, $\Im w = \Im\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \frac{y}{|cz+d|^2}$.
Ainsi $\frac{|\mathrm{d}w|^2}{(\Im w)^2} = \frac{|\mathrm{d}z|^2 / |cz+d|^4}{y^2 / |cz+d|^4} = \frac{|\mathrm{d}z|^2}{y^2}$.
La métrique est invariante.
$\blacksquare$
Description des géodésiques
Théorème (Géodésiques) : Les géodésiques du demi-plan de Poincaré sont :
1. Les demi-droites verticales $x = \text{constante}, y > 0$.
2. Les demi-cercles dont le centre est sur l’axe réel $\mathbb{R} \times \{0\}$.
Preuve :
On cherche les courbes $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ qui sont critique pour le functional longueur. Cela équivaut à résoudre les équations d’Euler-Lagrange pour le lagrangien $L = \frac{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}{y}$.
Les équations peuvent s’écrire en utilisant l’arc paramétré $s$ : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\dot{x}}{y^2}\right) = 0$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\dot{y}}{y^2}\right) + \frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{y^3}=0$.
On en déduit que $\frac{\dot{x}}{y^2}$ est constant. Notons $c$. Si $c=0$, alors $\dot{x}=0$ : courbe verticale.
Si $c \neq 0$, on pose $u = \frac{\dot{x}}{\dot{y}}$; alors $\frac{u}{y^2} = c$ donne $u = c y^2$.
En intégrant, on trouve $(x – x_0)^2 + y^2 = r^2$, avec $x_0 \in \mathbb{R}$ et $r>0$. La condition $y>0$ et l’orthogonalité à l’axe réel en découlent.
$\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Les géodésiques sont des cercles orthogonaux au bord (l’axe réel). Ce n’est pas vrai dans le plan euclidien.
Exemple 1 : La géodésique passant par $i$ et $2i$ est la verticale $x=0$.
Exemple 2 : La géodésique passant par $i$ et $1+i$ est le cercle de centre $(1,0)$ de rayon $1$.
Contre-exemple : Dans $\mathbb{R}^2$ muni de la métrique euclidienne, les géodésiques sont des droites, pas des cercles. Le demi-plan de Poincaré n’est donc pas isomorphe (en tant qu’espace métrique) au plan euclidien.
Exemple de calcul de distance : La distance entre $i$ et $2i$ le long de la verticale est $\int_1^2 \frac{1}{y} \, \mathrm{d}y = \ln 2$. Le long de tout autre chemin, la distance est strictement plus grande.
Références et approfondissement
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