Dérivée de la Fonction Implicite
Le théorème des fonctions implicites ne se contente pas de garantir l’existence locale d’une fonction $\phi$ ; il nous donne également une formule explicite pour calculer ses dérivées. C’est une de ses plus grandes forces : on peut connaître la variation d’une fonction que l’on ne peut pas forcément écrire.
1. Obtention de la Formule par la Règle de la Chaîne
Supposons que l’équation $g(x,y)=k$ définisse localement $y$ comme une fonction de $x$, notée $y=\phi(x)$. Cela signifie que pour tout $x$ dans un voisinage, on a : $$ g(x, \phi(x)) = k $$ Le membre de droite est une constante. Si l’on dérive cette équation par rapport à $x$, la dérivée de la constante est nulle. Pour dériver le membre de gauche, on utilise la règle de la chaîne (dérivation de fonctions composées) : $$ \frac{d}{dx} g(x, \phi(x)) = \frac{\partial g}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dx} + \frac{\partial g}{\partial y} \cdot \frac{d\phi}{dx} = 0 $$ Puisque $\frac{dx}{dx}=1$, on obtient : $$ \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} \cdot \phi'(x) = 0 $$ Si $\frac{\partial g}{\partial y} \neq 0$ (la condition du théorème), on peut isoler $\phi'(x)$.
Si $y=\phi(x)$ est définie implicitement par $g(x,y)=k$, alors sa dérivée est : $$ \frac{dy}{dx} = \phi'(x) = – \frac{\partial g / \partial x}{\partial g / \partial y} $$
2. Le Cas Général
La même logique s’applique si une variable, disons $x_p$, est définie implicitement comme une fonction $\phi$ des $p-1$ autres variables.
La relation $g(x_1, \dots, x_{p-1}, \phi(x_1, \dots, x_{p-1})) = k$, dérivée par rapport à une variable $x_j$ (pour $j < p$), donne :
$$ \frac{\partial g}{\partial x_j} + \frac{\partial g}{\partial x_p} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial x_j} = 0 $$
Ceci nous donne les dérivées partielles de la fonction implicite $\phi$.
$$ \frac{\partial \phi}{\partial x_j} = – \frac{\partial g / \partial x_j}{\partial g / \partial x_p} $$
3. Application : Calcul de la Pente d’une Tangente
Cette formule est très utile pour trouver la pente de la tangente à une courbe définie implicitement, sans avoir besoin d’expliciter la fonction.
Exemple : La Folium de Descartes
Soit la courbe d’équation $g(x,y) = x^3+y^3-6xy = 0$. Trouver l’équation de la tangente au point $(3,3)$.
- Vérifier le point : $3^3+3^3-6(3)(3) = 27+27-54=0$. Le point est bien sur la courbe.
- Calculer les dérivées partielles de g : $$ \frac{\partial g}{\partial x} = 3x^2-6y, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = 3y^2-6x $$
- Vérifier la condition d’application : Au point (3,3), $\frac{\partial g}{\partial y}(3,3) = 3(3^2)-6(3) = 27-18=9 \neq 0$. On peut donc définir localement $y$ comme fonction de $x$.
- Calculer la pente de la tangente $dy/dx$ au point (3,3) : $$ \frac{dy}{dx} = – \frac{\partial g / \partial x}{\partial g / \partial y} = – \frac{3x^2-6y}{3y^2-6x} $$ Au point (3,3) : $$ \frac{dy}{dx} = – \frac{3(3^2)-6(3)}{3(3^2)-6(3)} = – \frac{27-18}{27-18} = -1 $$
- Équation de la tangente : C’est la droite passant par $(3,3)$ de pente -1. $$ y – 3 = -1(x – 3) \implies y = -x + 6 $$