Dérivées Partielles d’Ordre Supérieur
Si les dérivées partielles d’une fonction sont elles-mêmes des fonctions de plusieurs variables, il est naturel de se demander si on peut les dériver à leur tour. Ce processus mène à la notion de dérivées partielles d’ordre supérieur, qui sont essentielles pour l’étude des points critiques (minima, maxima) et pour la résolution d’équations aux dérivées partielles.
1. Définition et Notations
Une dérivée partielle d’ordre 2 est simplement la dérivée partielle d’une dérivée partielle d’ordre 1.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction. Ses dérivées partielles secondes sont :
- Dérivées pures : On dérive deux fois par rapport à la même variable. $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} = \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right) $$
- Dérivées mixtes (ou croisées) : On dérive par rapport à deux variables différentes. $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right) $$ Attention à l’ordre : on dérive d’abord par rapport à la variable la plus à droite ($x_i$), puis par rapport à celle de gauche ($x_j$).
2. Le Théorème de Schwarz
La question se pose naturellement : l’ordre de dérivation dans les dérivées mixtes a-t-il une importance ? A-t-on $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ ? Le théorème de Schwarz y répond par l’affirmative, à condition que la fonction soit suffisamment régulière.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction. Si les dérivées partielles secondes $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ existent sur l’ouvert $U$ et sont continues en un point $a \in U$, alors elles sont égales en ce point : $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) $$
3. Fonctions de Classe Cᵏ
On généralise la notion de fonction de classe C¹ à un ordre quelconque.
Soit $k$ un entier positif. On dit qu’une fonction $f$ est de classe Cᵏ sur un ouvert $U$ si toutes ses dérivées partielles jusqu’à l’ordre $k$ existent et sont continues sur $U$.
- Classe C⁰ : L’ensemble des fonctions continues.
- Classe C¹ : Dérivées partielles premières continues.
- Classe C² : Dérivées partielles secondes continues. (Le théorème de Schwarz s’applique partout).
- Classe C∞ : La fonction est indéfiniment dérivable et toutes ses dérivées partielles sont continues. On parle de fonction lisse.
4. La Matrice Hessienne
Pour une fonction scalaire, on peut organiser toutes les dérivées partielles secondes dans une matrice carrée appelée la matrice Hessienne.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction de classe C². La matrice Hessienne de $f$ en un point $a \in U$, notée $H_f(a)$, est la matrice carrée $p \times p$ de ses dérivées partielles secondes : $$ H_f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_p}(a) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(a) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_p}(a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_p \partial x_1}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_p \partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_p^2}(a) \end{pmatrix} $$
Grâce au théorème de Schwarz, si $f$ est de classe C², sa matrice Hessienne est symétrique.
La matrice Hessienne est l’outil fondamental pour étudier la nature des points critiques (maximum local, minimum local, point selle) en optimisation.
Exemple de Calcul
Calculons la matrice Hessienne de $f(x,y) = x \cos(y) + y e^x$.
- Dérivées premières : $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \cos(y) + y e^x $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = -x \sin(y) + e^x $$
- Dérivées secondes : $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\cos(y) + y e^x) = y e^x $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-x \sin(y) + e^x) = -x \cos(y) $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(\cos(y) + y e^x) = -\sin(y) + e^x $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(-x \sin(y) + e^x) = -\sin(y) + e^x $$ On vérifie bien que les dérivées mixtes sont égales.
- Matrice Hessienne : $$ H_f(x,y) = \begin{pmatrix} y e^x & -\sin(y) + e^x \\ -\sin(y) + e^x & -x \cos(y) \end{pmatrix} $$