Deuxième Théorème d’Isomorphisme
Le deuxième théorème d’isomorphisme, parfois appelé « théorème de la factorisation » ou « théorème du losange », décrit la structure du quotient d’un sous-groupe par l’intersection avec un sous-groupe distingué. Il offre un moyen de simplifier certains quotients en les reliant à d’autres structures plus simples.
Soit $G$ un groupe, $H$ un sous-groupe de $G$, et $N$ un sous-groupe distingué de $G$.
Alors :
- Le produit $HN = \{hn \mid h \in H, n \in N\}$ est un sous-groupe de $G$.
- L’intersection $H \cap N$ est un sous-groupe distingué de $H$.
- Les groupes quotients $H / (H \cap N)$ et $HN / N$ sont isomorphes : $$ H / (H \cap N) \simeq HN / N $$
Interprétation
Ce théorème établit une analogie avec la formule de Grassmann pour les espaces vectoriels. Il relie les structures de « somme » (le produit $HN$) et d' »intersection » ($H \cap N$) de sous-groupes. Il affirme que « quotienter $H$ par ce qu’il a en commun avec $N$ » est équivalent à « quotienter la somme $HN$ par $N$ ».
Application dans le groupe $(\mathbb{Z}, +)$
Considérons le groupe $G = \mathbb{Z}$. Comme il est abélien, tous ses sous-groupes sont distingués.
- Soit $H = n\mathbb{Z}$ un sous-groupe de $\mathbb{Z}$.
- Soit $N = m\mathbb{Z}$ un autre sous-groupe (et donc distingué) de $\mathbb{Z}$.
Appliquons le théorème :
- Intersection : $H \cap N = n\mathbb{Z} \cap m\mathbb{Z} = \text{ppcm}(n, m)\mathbb{Z}$.
- Somme (produit en notation additive) : $H + N = n\mathbb{Z} + m\mathbb{Z} = \text{pgcd}(n, m)\mathbb{Z}$.
- Le théorème nous donne l’isomorphisme : $$ n\mathbb{Z} / (\text{ppcm}(n, m)\mathbb{Z}) \simeq \text{pgcd}(n, m)\mathbb{Z} / m\mathbb{Z} $$
On peut vérifier la cohérence des ordres. L’ordre du groupe de gauche est $\frac{\text{ppcm}(n, m)}{n}$. L’ordre du groupe de droite est $\frac{m}{\text{pgcd}(n, m)}$.
Sachant que $n \times m = \text{pgcd}(n, m) \times \text{ppcm}(n, m)$, on a bien l’égalité $\frac{\text{ppcm}(n, m)}{n} = \frac{m}{\text{pgcd}(n, m)}$.