Développement Limité à l’Ordre Deux
Le développement limité à l’ordre deux est une approximation d’une fonction régulière au voisinage d’un point par un polynôme de degré deux. Alors que l’approximation d’ordre un (affine) donne le plan tangent, l’approximation d’ordre deux capture la courbure de la fonction. Elle fournit une description beaucoup plus fine du comportement local et est l’outil indispensable pour l’étude des extrémums.
1. La Formule de Taylor-Young à l’Ordre 2
La formule exprime une fonction $f(a+h)$ en fonction de la valeur de $f$ en $a$, de son gradient (terme d’ordre 1) et de sa matrice Hessienne (terme d’ordre 2).
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction de classe C² sur un ouvert $U$. Pour tout $a \in U$ et pour un vecteur d’accroissement $h=(h_1, \dots, h_p)$ tel que $a+h \in U$, on a : $$ f(a+h) = f(a) + \nabla f(a) \cdot h + \frac{1}{2} h^T H_f(a) h + o(\|h\|^2) $$
Développons les termes :
- Ordre 0 : $f(a)$
- Ordre 1 (partie linéaire) : $\nabla f(a) \cdot h = \sum_{i=1}^p \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) h_i$
- Ordre 2 (partie quadratique) : $\frac{1}{2} h^T H_f(a) h = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) h_i h_j$
- Reste : $o(\|h\|^2)$ est une fonction qui tend vers 0 plus vite que $\|h\|^2$.
2. Interprétation : Approximation Quadratique
Le polynôme de degré 2 :
$$ P_2(x) = f(a) + \nabla f(a) \cdot (x-a) + \frac{1}{2} (x-a)^T H_f(a) (x-a) $$
est la meilleure approximation quadratique de la fonction $f$ au voisinage de $a$.
Pour une fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, le graphe de ce polynôme est un paraboloïde (dit « osculateur ») qui épouse au mieux la surface représentant le graphe de $f$ en termes de position, de plan tangent et de courbure.
3. Application à la Recherche d’Extrémums
C’est l’application principale de cette formule. En un point critique $a$ (où $\nabla f(a)=\vec{0}$), le terme d’ordre 1 disparaît. L’étude du comportement local de $f$ repose alors entièrement sur le terme d’ordre 2. $$ f(a+h) – f(a) = \frac{1}{2} h^T H_f(a) h + o(\|h\|^2) $$ Le signe de la différence $f(a+h) – f(a)$ pour $h$ petit est donc déterminé par le signe de la forme quadratique associée à la matrice Hessienne. L’étude des valeurs propres de $H_f(a)$ permet de conclure :
- Minimum local : si $H_f(a)$ est définie positive (toutes valeurs propres $>0$).
- Maximum local : si $H_f(a)$ est définie négative (toutes valeurs propres $<0$).
- Point selle : si $H_f(a)$ a des valeurs propres de signes opposés.
Exemple de Développement à l’Ordre 2
Trouver le développement limité à l’ordre 2 de $f(x,y) = \ln(1+x+2y)$ au voisinage de $a=(0,0)$.
- Ordre 0 : $f(0,0) = \ln(1) = 0$.
- Ordre 1 (gradient) : $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1+x+2y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{1+x+2y} $$ En $(0,0)$, $\nabla f(0,0) = (1, 2)$. Le terme d’ordre 1 est $1 \cdot h_x + 2 \cdot h_y = h_x+2h_y$.
- Ordre 2 (Hessienne) :
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -\frac{1}{(1+x+2y)^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\frac{4}{(1+x+2y)^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -\frac{2}{(1+x+2y)^2} $$
En $(0,0)$, $H_f(0,0) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$.
Le terme quadratique est $\frac{1}{2} (h_x, h_y) \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_x \\ h_y \end{pmatrix} = \frac{1}{2} (-h_x^2 – 4h_xh_y – 4h_y^2)$. - Formule complète : $$ f(h_x, h_y) = (h_x+2h_y) – \frac{1}{2}(h_x^2 + 4h_xh_y + 4h_y^2) + o(\|(h_x,h_y)\|^2) $$