Soit $f$ une fonction définie au voisinage de zéro. Si $f$ n’admet pas de limite finie en 0, elle ne peut pas avoir de développement limité standard. Cependant, il est parfois possible de trouver un entier $m$ tel que la fonction $g(x) = x^m f(x)$ admette, elle, un développement limité en 0.
Si la fonction $g(x) = x^m f(x)$ admet un développement limité d’ordre $n$ au voisinage de 0 : $$ x^m f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + x^n\epsilon(x) $$ Alors on peut écrire : $$ f(x) = \frac{1}{x^m}(a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n) + x^{n-m}\epsilon(x) $$ Cette dernière expression est appelée le développement limité généralisé de $f$ au voisinage de 0, à l’ordre $n-m$.
Exemple
Considérons la fonction $f(x) = \frac{1}{x-x^2}$. Cette fonction tend vers l’infini en 0 et n’admet donc pas de D.L. standard.
Cependant, la fonction $g(x) = xf(x) = \frac{x}{x-x^2} = \frac{1}{1-x}$ admet un D.L. en 0 à n’importe quel ordre. Prenons par exemple l’ordre 3 : $$ xf(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^3\epsilon(x) $$
En divisant par $x$, on obtient le développement limité généralisé de $f$ à l’ordre 2 : $$ f(x) = \frac{1}{x} + 1 + x + x^2 + x^2\epsilon(x) $$