L’objectif de cet exercice est de vérifier la maîtrise des définitions des nombres rationnels, le signe des fractions et la capacité à simplifier des expressions complexes.

1. Parmi les nombres suivants, entourer ceux qui sont des nombres rationnels, souligner ceux qui sont des nombres décimaux, et barrer ceux qui ne sont pas des entiers relatifs :
   \[ -5 \quad ; \quad \frac{12}{4} \quad ; \quad \frac{1}{3} \quad ; \quad -2,5 \quad ; \quad \frac{22}{7} \quad ; \quad 0 \quad ; \quad \frac{-9}{-3} \]
2. Compléter les phrases suivantes avec les mots : numérateur, dénominateur, opposé, inverse.
   • Dans l’écriture \(\frac{a}{b}\), \(b\) s’appelle le …………………… et il doit être différent de zéro.
   • Deux nombres rationnels sont dits …………………… si leur somme est égale à zéro.
   • Le signe du nombre rationnel \(\frac{-a}{-b}\) est …………………… (positif/négatif).

Simplifier les fractions suivantes au maximum en utilisant la décomposition en facteurs (montrer les étapes de décomposition) :

1. \(A = \frac{126}{144}\)
2. \(B = \frac{3 \times 15 \times 14}{7 \times 6 \times 10}\) (Astuce : Ne calculez pas les produits, simplifiez avant !)
3. \(C = \frac{11 \times 13 + 11 \times 2}{11 \times 5}\) (Astuce : Penser à la factorisation)

Trouver la valeur de \(x\) dans les cas suivants en utilisant la règle du produit en croix :

• \(\frac{x}{5} = \frac{12}{20}\)
• \(\frac{4}{x+1} = \frac{2}{3}\)

Dans cet exercice, nous allons comparer des nombres rationnels, les ranger dans l’ordre croissant et encadrer des valeurs. Une attention particulière doit être portée à la réduction au même dénominateur.

1. Comparer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice (compléter par <, > ou =) :
   a) \(\frac{17}{15} \dots 1\) (Justification : le numérateur est … au dénominateur)
   b) \(\frac{123}{124} \dots \frac{124}{123}\)
   c) \(\frac{-7}{12} \dots \frac{-5}{12}\) (Attention aux nombres négatifs !)

1. Soient les nombres rationnels suivants : \( a = \frac{5}{6} \quad ; \quad b = \frac{3}{4} \quad ; \quad c = \frac{7}{12} \quad ; \quad d = \frac{2}{3} \)
   a) Trouver un dénominateur commun à tous ces nombres (PPCM).
   b) Écrire chaque nombre avec ce dénominateur commun.
   c) Ranger ces nombres dans l’ordre décroissant.

Trois amis se partagent une tarte. Ahmed en mange les \(\frac{4}{15}\), Bilal les \(\frac{1}{3}\) et Karim les \(\frac{2}{5}\).

1. Qui a mangé la plus grosse part ? (Justifier par le calcul)
2. Reste-t-il de la tarte ? Si oui, quelle fraction représente le reste ?

Cet exercice se concentre sur la technique opératoire de l’addition et de la soustraction des nombres rationnels, ainsi que le calcul d’expressions avec parenthèses.

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

• \(A = \frac{7}{9} + \frac{5}{9}\)
• \(B = \frac{3}{4} – \frac{5}{12}\)
• \(C = 2 + \frac{3}{5}\) (Astuce : Écrire 2 sous la forme \(\frac{2}{1}\))
• \(D = \frac{7}{18} + \frac{1}{6} – \frac{5}{9}\)

Calculer les expressions suivantes en respectant les priorités opératoires (les parenthèses d’abord) :

• \(E = \left( \frac{5}{4} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} + \frac{5}{6} \right)\)
• \(F = 15 – \left( \frac{7}{2} + 4 \right) – \left[ \frac{5}{4} – \left( 1 – \frac{1}{2} \right) \right]\)

Trouver le nombre rationnel \(x\) tel que :

1. \(x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6}\)
2. \(\frac{7}{10} – x = \frac{1}{5}\)

Application des sommes et différences de nombres rationnels à des situations concrètes et géométriques.

Monsieur Alami reçoit son salaire mensuel. Il dépense :

• \(\frac{1}{4}\) de son salaire pour le loyer.
• \(\frac{2}{5}\) de son salaire pour la nourriture et les factures.
• \(\frac{1}{10}\) de son salaire pour le transport.

1. Quelle fraction totale de son salaire a-t-il dépensée ?
2. Quelle fraction de son salaire lui reste-t-il pour ses économies ?
3. Si son salaire est de 8000 Dirhams, calculer le montant du loyer et le montant des économies.

On considère un triangle \(ABC\) dont les longueurs des côtés sont données par :
\(AB = \frac{7}{3} \text{ cm} \quad ; \quad BC = \frac{11}{6} \text{ cm} \quad ; \quad AC = \frac{5}{2} \text{ cm}\)

1. Calculer le périmètre \(P\) de ce triangle. (Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée).
2. Est-ce que ce triangle est isocèle ? Justifier.
3. On agrandit le côté \(AB\) de \(\frac{1}{6} \text{ cm}\). Quelle est la nouvelle longueur \(AB’\) ?

Calculer la valeur de \(S\) de la manière la plus astucieuse possible :

\[ S = \left( 1 – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{99} – \frac{1}{100} \right) \]