Cet exercice porte sur la simplification, le développement et la factorisation d’expressions algébriques.

1. Simplifier les expressions suivantes :

• \(A = 3x – 5 + 7x + 2\)
• \(B = 4x \times (-2x)\)

2. Développer puis réduire les expressions suivantes :

• \(C = 5(2x – 3)\)
• \(D = (x + 4)(x – 2)\)
• \(E = -3x(x – 5) + 2(x^2 – 1)\)

Factoriser les expressions suivantes (transformer la somme en produit) :

1. \(F = 15x – 5\) (Facteur commun simple)
2. \(G = 4x^2 + 8x\)
3. \(H = (x + 1)(2x – 3) + (x + 1)(5)\) (Facteur commun parenthèse)
4. \(I = (2x – 7)(x + 3) – (2x – 7)(2x – 1)\)

Résolution d’équations du premier degré à une inconnue et mise en équation d’un problème.

Résoudre les équations suivantes (trouver la valeur de \(x\)) :

1. \(x + 5 = 12\)
2. \(3x = 18\)
3. \(2x – 7 = 9\)
4. \(4x + 3 = 2x – 9\)
5. \(2(x – 3) – 5 = 3(x + 1)\)

Énoncé : Ahmed a le triple de l’âge de son fils. Dans 10 ans, l’âge d’Ahmed sera le double de l’âge de son fils.

1. Soit \(x\) l’âge actuel du fils. Exprimer l’âge actuel d’Ahmed en fonction de \(x\).
2. Exprimer l’âge du fils dans 10 ans et l’âge d’Ahmed dans 10 ans en fonction de \(x\).
3. Écrire l’équation qui traduit le problème.
4. Résoudre l’équation pour trouver l’âge actuel du fils, puis en déduire l’âge d’Ahmed.

Utilisation des propriétés du triangle rectangle inscrit dans un cercle et de la médiane.

Soit \(EFG\) un triangle rectangle en \(E\). Soit \(O\) le milieu de l’hypoténuse \([FG]\).

1. Faire une figure avec \(EF = 6 \text{ cm}\) et \(EG = 8 \text{ cm}\).
2. Calculer la longueur \(FG\) en utilisant le théorème de Pythagore (voir exercice suivant si besoin, ou utiliser les valeurs connues). On admet ici que \(FG = 10 \text{ cm}\).
3. Calculer la longueur de la médiane \([EO]\). Justifier en énonçant la propriété du milieu de l’hypoténuse.
4. Tracer le cercle circonscrit au triangle \(EFG\). Quel est son centre ? Quel est son rayon ?

Soit \(ABC\) un triangle inscrit dans un cercle de diamètre \([BC]\).

1. Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ? Justifier votre réponse par une propriété du cours.
2. Si le rayon du cercle est \(4 \text{ cm}\), combien mesure la médiane issue de \(A\) ?

Calcul de longueurs (Théorème Direct) et vérification qu’un triangle est rectangle (Théorème Réciproque).

Soit \(MNP\) un triangle rectangle en \(M\).

1. On donne \(MN = 5 \text{ cm}\) et \(MP = 12 \text{ cm}\). Calculer l’hypoténuse \(NP\).
   (Rédiger soigneusement : « Le triangle MNP est rectangle en M, donc d’après le théorème de Pythagore… »)
2. Supposons maintenant un autre triangle \(RST\) rectangle en \(R\), avec \(ST = 15 \text{ cm}\) (hypoténuse) et \(RS = 9 \text{ cm}\). Calculer le côté \(RT\).

On considère un triangle \(IJK\) dont les côtés mesurent :
\(IJ = 7 \text{ cm}\) ; \(JK = 24 \text{ cm}\) ; \(IK = 25 \text{ cm}\).

1. Quel est le côté le plus long ? Calculer son carré.
2. Calculer la somme des carrés des deux autres côtés.
3. Comparer les résultats.
4. Conclure sur la nature du triangle \(IJK\) en citant la propriété utilisée.