Rappel et approfondissement des opérations : produits, divisions et enchaînements d’opérations.

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

1. \(A = \frac{-4}{5} \times \frac{15}{8} \times \frac{2}{-3}\)
2. \(B = \left( \frac{2}{3} – \frac{1}{4} \right) \div \frac{5}{6}\)
3. \(C = \frac{ \frac{3}{7} – 1 }{ \frac{2}{7} + 2 }\)

Un réservoir d’eau est rempli aux \(\frac{3}{4}\). On utilise \(\frac{1}{3}\) de cette eau pour arroser le jardin, puis on utilise \(\frac{2}{5}\) de l’eau restante pour laver la voiture.

1. Quelle fraction du réservoir a été utilisée pour le jardin ?
2. Quelle fraction du réservoir a été utilisée pour la voiture ?
3. Quelle fraction du réservoir reste-t-il à la fin ?

Utilisation des puissances à exposants entiers relatifs (positifs et négatifs) et notation scientifique.

Calculer et donner le résultat sous forme décimale ou fractionnaire simple :

• \(D = 2^{-3}\)
• \(E = (-5)^2 + 10^0 – 3^{-2}\)
• \(F = \left( \frac{2}{3} \right)^{-2}\)

Écrire sous la forme \(a^n\) où \(n\) est un entier relatif :

1. \(G = 7^4 \times 7^{-6} \times 7\)
2. \(H = \frac{ (3^2)^{-4} }{ 3^{-5} }\)
3. \(I = 10^5 \times 10^{-2} \times (10^3)^{-1}\)
4. \(J = a^4 \times b^4\) (écrire sous la forme \((ab)^n\))

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

• \(X = 145 \ 000\)
• \(Y = 0,000 \ 32\)
• \(Z = 25 \times 10^3 + 3 \times 10^4\) (Attention à la somme !)

Construction et propriétés de la symétrie par rapport à un point (O).

Soit \(ABC\) un triangle quelconque. Soit \(O\) le milieu du segment \([AC]\).

1. Construire \(D\) le symétrique de \(B\) par rapport au point \(O\).
2. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ? Justifier votre réponse en utilisant les propriétés de la symétrie centrale.

On considère la figure précédente. On sait que \(AB = 4 \text{ cm}\) et \(\widehat{BAC} = 50^\circ\).

1. Calculer la longueur \(CD\).
   Justification : « La symétrie centrale conserve ……………….. »
2. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{ACD}\).
   Justification : « Le symétrique de l’angle \(\widehat{BAC}\) par rapport à \(O\) est l’angle ………… »
3. Montrer que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.

Application des théorèmes des milieux dans le triangle.

Soit \(MNP\) un triangle tel que \(MN = 6 \text{ cm}\), \(NP = 8 \text{ cm}\) et \(MP = 7 \text{ cm}\).

1. Placer le point \(I\) milieu de \([MN]\) et le point \(J\) milieu de \([MP]\).
2. Montrer que la droite \((IJ)\) est parallèle à la droite \((NP)\). (Citer la propriété utilisée).
3. Calculer la distance \(IJ\).

Soit \(K\) le milieu de \([NP]\).

1. Quelle est la nature du quadrilatère \(MIKJ\) ? (On pourra utiliser les propriétés des droites des milieux pour prouver que les côtés opposés sont parallèles).
2. Calculer le périmètre du triangle \(IJK\).
3. Quelle relation y a-t-il entre l’aire du triangle \(IJK\) et l’aire du triangle \(MNP\) ? (Question bonus).