Cet exercice aborde les techniques de comparaison (différence, carrés) et l’encadrement des nombres.

1. Soient \(a\) et \(b\) deux nombres rationnels tels que \(a – b = 5\). Comparer \(a\) et \(b\).
2. Comparer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice :
   a) \(\frac{14}{3}\) et \(\frac{14}{5}\)
   b) \(3\sqrt{5}\) et \(2\sqrt{7}\) (Comparer leurs carrés)
   c) \(x^2 + 2\) et \(2\) (pour tout nombre \(x\))
3. Soient \(x\) et \(y\) deux nombres tels que \(x \leq y\).
   Comparer \(3x – 5\) et \(3y – 5\). Justifier en citant les règles d’ordre et opérations.

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres rationnels tels que :
\(3 \leq x \leq 5\) et \(2 \leq y \leq 4\).

1. Encadrer \(x + y\).
2. Encadrer \(x \times y\) (puisque tous les nombres sont positifs).
3. On souhaite encadrer \(x – y\).
   a) Commencer par encadrer \(-y\).
   b) En déduire l’encadrement de \(x + (-y)\), c’est-à-dire \(x – y\).
4. Encadrer \(2x + 3y\).

Calcul de longueurs dans le triangle rectangle et utilisation de la trigonométrie (Cosinus).

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\). On donne \(AB = 6 \text{ cm}\) et \(AC = 8 \text{ cm}\).

1. Faire une figure à main levée.
2. Calculer la longueur de l’hypoténuse \(BC\).
3. Calculer \(\cos(\widehat{ABC})\). (Donner la valeur exacte sous forme de fraction simplifiée).
4. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).
   Dans le triangle \(ABH\) rectangle en \(H\), exprimer \(\cos(\widehat{ABH})\) en fonction de \(BH\) et \(AB\).
5. En déduire la longueur \(BH\) en utilisant la valeur du cosinus trouvée à la question 3.

Soit \(EFG\) un triangle rectangle en \(E\) tel que \(EF = 5 \text{ cm}\) et \(FG = 10 \text{ cm}\).

1. Calculer \(\cos(\widehat{EFG})\).
2. En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{EFG}\) (sans calculatrice si la valeur est remarquable, sinon indiquer la démarche).
   (Indice : Quel angle a pour cosinus \(0,5\) ou \(\frac{1}{2}\) ?)

Compréhension de la notion de vecteur, égalité vectorielle et propriétés de la translation.

Soit \(ABC\) un triangle quelconque.

1. Construire le point \(D\) tel que \(\vec{AB} = \vec{CD}\).
2. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABDC\) ? Justifier.
3. Construire le point \(E\), image du point \(B\) par la translation de vecteur \(\vec{AC}\).
4. Montrer que \(\vec{AC} = \vec{BE}\). En déduire que \(C\) est le milieu du segment \([DE]\).

En utilisant la relation de Chasles, simplifier les expressions vectorielles suivantes :

1. \(\vec{u} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\)
2. \(\vec{v} = \vec{MA} – \vec{MB} + \vec{BC}\)
   (Rappel : \(-\vec{MB} = \vec{BM}\))
3. \(\vec{w} = \vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BC}\)

Ce problème mélange les propriétés de Pythagore avec les vecteurs.

Soit \(ABCD\) un rectangle de centre \(O\) tel que \(AB = 4 \text{ cm}\) et \(BC = 3 \text{ cm}\).

1. Calculer la longueur de la diagonale \(AC\).
2. En déduire la longueur \(OA\) et \(OB\).
3. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Calculer la longueur \(OI\) en considérant le triangle \(ABC\) et les droites des milieux.

1. Construire le point \(E\) tel que \(\vec{OE} = \vec{OA} + \vec{OB}\).
2. Quelle est la nature du quadrilatère \(OAEB\) ? (C’est un losange, un rectangle ou un carré ? Justifier).
3. Calculer le périmètre du quadrilatère \(OAEB\).
4. Montrer que l’image du point \(C\) par la translation de vecteur \(\vec{AO}\) est le point \(B\) (ou un autre point de la figure ? Vérifier la direction et le sens).