Application des propriétés de proportionnalité dans le triangle (Thalès dans le triangle).

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 8 \text{ cm}\), \(AC = 6 \text{ cm}\) et \(BC = 10 \text{ cm}\).

1. Construire la figure.
2. Placer le point \(E\) sur le segment \([AB]\) tel que \(AE = 2 \text{ cm}\).
3. Tracer la droite passant par \(E\) et parallèle à la droite \((BC)\). Elle coupe le segment \([AC]\) en un point \(F\).

1. Énoncer la propriété utilisée pour calculer les longueurs (Théorème de Thalès / Proportionnalité dans le triangle).
2. Calculer la longueur \(AF\).
   (Indication : Écrire les rapports égaux \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \dots\))
3. Calculer la longueur \(EF\).
4. Le triangle \(AEF\) est-il une réduction du triangle \(ABC\) ? Si oui, quel est le coefficient de réduction ?

Propriétés des médiatrices et cas particulier du triangle rectangle.

Soit \(EFG\) un triangle rectangle en \(E\) tel que \(FG = 8 \text{ cm}\) et \(\widehat{EFG} = 60^\circ\).

1. Construire ce triangle.
2. Construire les médiatrices des segments \([EF]\) et \([EG]\). Elles se coupent en un point \(O\).
3. Où se situe précisément le point \(O\) ? Justifier à l’aide de la propriété du triangle rectangle.
4. Tracer le cercle circonscrit au triangle \(EFG\). Quel est son rayon ?

Soit \(M\) un point appartenant à la médiatrice du segment \([AB]\).

1. Rappeler la propriété caractéristique des points de la médiatrice.
2. Si \(MA = 5 \text{ cm}\), combien mesure \(MB\) ? Justifier.

Construction des médianes et position du centre de gravité.

Soit \(LMN\) un triangle quelconque avec \(LM = 9 \text{ cm}\).
Soit \(I\) le milieu du côté \([MN]\).

1. Tracer la médiane \((LI)\).
2. Placer le point \(G\) sur le segment \([LI]\) tel que \(LG = \frac{2}{3} LI\).
   Comment s’appelle ce point \(G\) pour le triangle \(LMN\) ?
3. Tracer la droite \((MG)\). Elle coupe le côté \([LN]\) en un point \(K\).
4. Que représente la droite \((MG)\) pour le triangle ? En déduire que \(K\) est le milieu de \([LN]\).

On donne la longueur de la médiane \(LI = 12 \text{ cm}\).

1. Calculer la longueur \(LG\).
2. Calculer la longueur \(GI\).
3. Vérifier que \(LG = 2 \times GI\).

Les hauteurs, l’orthocentre et une démonstration liant parallélisme et perpendicularité.

Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\).
Soit \((d1)\) la hauteur issue de \(B\) (perpendiculaire à \((AC)\)).
Soit \((d2)\) la hauteur issue de \(C\) (perpendiculaire à \((AB)\)).
Les droites \((d1)\) et \((d2)\) se coupent en un point \(H\).

1. Faire une figure soignée.
2. Que représente le point \(H\) pour le triangle \(ABC\) ?
3. Tracer la droite \((AH)\) et prolonger-la pour qu’elle coupe \([BC]\) en un point \(K\).
4. Montrer que la droite \((AH)\) est perpendiculaire à \((BC)\).

On trace une droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et parallèle à \((BC)\).

1. Montrer que la droite \((AH)\) est perpendiculaire à la droite \((\Delta)\).
   (Indication : Utiliser la propriété « Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est… »)
2. Déduire la position de la droite \((AH)\) par rapport à l’angle \(\widehat{BAC}\) (Rappel : dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi une bissectrice).