Cet exercice porte sur la notion de racine carrée, la résolution d’équations de type \(x^2=a\) et la simplification simple.

1. Calculer les racines carrées exactes suivantes (sans calculatrice) :

• \(A = \sqrt{49}\)
• \(B = \sqrt{0,81}\)
• \(C = \sqrt{\frac{16}{25}}\)
• \(D = \sqrt{100} – \sqrt{36}\)

2. Simplifier l’écriture des nombres suivants (sous la forme \(a\sqrt{b}\)) :

• \(E = \sqrt{18}\) (Indice : \(18 = 9 \times 2\))
• \(F = \sqrt{50}\)
• \(G = 2\sqrt{8} + 3\sqrt{2}\)

Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(x^2 = 81\)
2. \(x^2 = 13\)
3. \(x^2 = -4\)
4. \(2x^2 = 50\)

Identification et manipulation des fonctions linéaires \(f(x) = ax\).

Le tableau suivant représente la quantité d’essence consommée par une voiture en fonction de la distance parcourue.

Distance (km)	100	250	\(x\)
Essence (L)	6	\(y\)	18

1. Montrer que c’est un tableau de proportionnalité et déterminer le coefficient de proportionnalité.
2. Compléter le tableau.

Soit \(f\) une fonction linéaire définie par \(f(x) = -2x\).

1. Calculer l’image de 3, l’image de -5 et l’image de 0 par la fonction \(f\).
2. Déterminer le nombre dont l’image par \(f\) est 10 (c’est-à-dire trouver \(x\) tel que \(f(x) = 10\)).
3. Tracer la représentation graphique de \(f\) dans un repère orthonormé \((O, I, J)\).
   (Justifier : « C’est une droite passant par l’origine et par le point… »)
4. Soit \(g\) une autre fonction linéaire telle que \(g(4) = 12\). Déterminer le coefficient de \(g\) puis donner l’expression de \(g(x)\).

Calculs d’effectifs cumulés, de fréquences et de moyenne arithmétique.

Voici les notes obtenues par les élèves d’une classe de 2ème année collège lors d’un devoir de mathématiques (noté sur 20) :

8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 10 ; 8 ; 15 ; 12 ; 10 ; 14 ; 18 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 14 ; 10 ; 12 ; 8.

1. Dresser le tableau statistique des effectifs en regroupant les notes. Ajouter une ligne pour les effectifs cumulés.
2. Quel est l’effectif total de cette classe ?
3. Calculer la fréquence de la note 10 (en pourcentage).
4. Combien d’élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 12 ? (Utiliser les effectifs cumulés).
5. Calculer la moyenne arithmétique \(M\) de cette classe.

Calcul de volume et notion d’agrandissement/réduction (coefficient \(k\)).

SABCD est une pyramide régulière de sommet \(S\) et de base carrée \(ABCD\). La hauteur de la pyramide est \([SO]\).

On donne : \(AB = 6 \text{ cm}\) (côté de la base) et \(SO = 10 \text{ cm}\).

1. Calculer l’aire de la base \(ABCD\).
2. Calculer le volume \(V\) de la pyramide \(SABCD\).
3. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base passant par un point \(O’\) du segment \([SO]\) tel que \(SO’ = 5 \text{ cm}\).
   On obtient une petite pyramide \(SA’B’C’D’\).
   • Calculer le coefficient de réduction \(k = \frac{SO’}{SO}\).
   • En déduire le volume \(V’\) de la petite pyramide sans recalculer l’aire de sa base. (Rappel : \(V’ = k^3 \times V\)).

Un cône de révolution a pour rayon de base \(r = 3 \text{ cm}\) et pour hauteur \(h = 4 \text{ cm}\).

1. Calculer la longueur de la génératrice \(g\) (le côté oblique) en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle formé par la hauteur, le rayon et la génératrice.
2. Calculer le volume de ce cône. (Donner la valeur exacte en fonction de \(\pi\), puis une valeur approchée).