Calculer les limites suivantes en justifiant soigneusement chaque étape :

1. \(L_1 = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} – \sqrt{3x-2}}{x^2 – 4}\)
2. \(L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(x) + \sin^2(x)}{x^2}\)
3. \(L_3 = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} – 1}{x – 1}\)
4. \(L_4 = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2+x+1} – (x+2) \right)\)
5. \(L_5 = \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan(x) – \sin(x)}{x^3}\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ \begin{cases} f(x) = \frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x-2} & \text{si } x > 2 \\ f(2) = a \\ f(x) = \frac{x^2+bx-6}{x-2} & \text{si } x < 2 \end{cases} \]

1. Déterminer la valeur de \(a\) pour que la fonction \(f\) soit continue à droite en \(2\).
2. Déterminer la valeur de \(b\) pour que la fonction \(f\) soit continue à gauche en \(2\).
3. Pour quelles valeurs de \(a\) et \(b\) la fonction \(f\) est-elle continue en \(x_0 = 2\) ?

On considère la fonction \(h(x) = x^3 + x^2 + x – 1\).

1. Montrer que \(h\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que l’équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([0, 1]\).
3. Déterminer le signe de \(h(x)\) sur \(\mathbb{R}\) en fonction de \(\alpha\).
4. Montrer que \(\alpha\) vérifie la relation : \(\alpha = \frac{1}{1 + \alpha + \alpha^2}\).

Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x) = x – 1 + \sqrt{x^2 – 4}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de la fonction \(f\).
2. Calculer \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
3. Calculer \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\). (Indication : utiliser l’expression conjuguée)
4. Étudier les branches infinies de la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
5. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\) et à gauche en \(-2\). Interpréter géométriquement les résultats.
6. Montrer que pour tout \(x \in ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[\) : \[ f'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \]
7. Dresser le tableau de variations complet de \(f\).