1. Montrer par l’absurde que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \sqrt{n^2 + 7n + 13} \notin \mathbb{N}\).
   (Indication : Encadrer \(n^2 + 7n + 13\) entre deux carrés parfaits consécutifs pour \(n\) assez grand).
2. Soient \(x, y \in \mathbb{R}\). Montrer par contraposée que : \[ (x \neq 1 \text{ et } y \neq 1) \Rightarrow x+y-xy \neq 1 \]
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation suivante (Disjonction des cas) : \[ \sqrt{x^2 – 1} \leq |x – 2| \]

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) : \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} = 1 – \frac{1}{(n+1)!} \]
2. Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \frac{5u_n – 4}{u_n + 1}\).
   Montrer par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n > 2\).

Déterminer la valeur de vérité de la proposition suivante, puis écrire sa négation : \[ P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, \quad x^2 + y^2 – 2x + 4y + 6 = 0 \] (Indication : Utiliser la forme canonique).

Soient \(E\) un ensemble et \(A, B, C\) trois parties de \(E\).

1. Montrer que : \(A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\).
2. On définit la différence symétrique \(A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\).
   Montrer que : \((A \Delta B) \cap A = A \setminus B\).
3. Montrer l’implication suivante : \[ (A \cup B \subset A \cup C \text{ et } A \cap B \subset A \cap C) \Rightarrow B \subset C \]

Soit \(f\) l’application définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \frac{x}{1+x^2}\).

1. \(f\) est-elle injective ? Justifier.
2. \(f\) est-elle surjective ? (Résoudre \(f(x) = y\) et discuter selon \(y\)).
3. Déterminer l’image directe \(f([-1, 1])\).
4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(I = [1, +\infty[\).
   Montrer que \(g\) est une bijection de \(I\) vers un intervalle \(J\) à déterminer.
   Déterminer l’expression de la bijection réciproque \(g^{-1}(y)\) pour tout \(y \in J\).

Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications.

Montrer que : Si \(g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.

Montrer que : Si \(g \circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.