Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct de centre \(O\) (le sens \(A \to B \to C\) est direct).

On considère la rotation \(r\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{2\pi}{3}\).

1. Déterminer l’image du point \(A\) par la rotation \(r\). Justifier.
2. Déterminer l’image du segment \([AB]\) par la rotation \(r\).
3. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Construire le point \(J = r(I)\). Que représente \(J\) pour le segment \([BC]\) ?

Soit \(ABCD\) un carré de centre \(O\) tel que \((\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]\).

Soit \(M\) un point du segment \([AB]\) et \(N\) un point du segment \([BC]\) tels que \(AM = BN\).

On considère la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).

1. Déterminer les images des sommets \(A, B, C\) par la rotation \(R\).
2. Montrer que \(R(M) = N\).
3. En déduire que le triangle \(OMN\) est rectangle isocèle en \(O\).
4. Soit \(I\) le milieu de \([MN]\). Quel est le lieu géométrique du point \(I\) lorsque \(M\) parcourt \([AB]\) ?

Calculer les limites suivantes en levant les indéterminations si nécessaire :

1. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x^2 – 3x + 2}\)
2. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 – x + 1}{x^2 + 5}\)
3. \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} – x)\) (Utiliser l’expression conjuguée)
4. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(2x)}\)
5. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(x)}{x^2}\) (Limite usuelle)

Soit \(f\) la fonction définie par : \[ f(x) = \frac{x^2 + x – 2}{x – 1} \quad \text{si } x \neq 1 \quad \text{et} \quad f(1) = 3 \]

1. Calculer \(\lim_{x \to 1} f(x)\). La fonction \(f\) est-elle continue en \(x_0 = 1\) ?
2. Soit \(g(x) = \frac{2x + 1}{x – 2}\).
   a) Calculer \(\lim_{x \to 2^+} g(x)\) et \(\lim_{x \to 2^-} g(x)\). Interpréter graphiquement (Asymptote verticale).
   b) Calculer \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x)\). Interpréter graphiquement (Asymptote horizontale).