Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1} – |x|\).

1. Étudier la parité de \(f\).
2. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + |x|}\).
3. En déduire que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).
4. Étudier la monotonie de \(f\) sur \([0, +\infty[\) et en déduire ses variations sur \(\mathbb{R}\).

Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x) = x – E(x)\), où \(E(x)\) désigne la partie entière de \(x\).

1. Calculer \(g(\sqrt{2})\) et \(g(-2,3)\).
2. Montrer que \(g\) est périodique de période 1.
3. Simplifier l’expression de \(g(x)\) pour \(x \in [0, 1[\).
4. Tracer la courbe représentative de \(g\) sur l’intervalle \([-2, 2]\).

Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\).

On suppose que \(u\) est croissante et \(v\) est décroissante sur \(I\).

1. Étudier la monotonie de la fonction \(\varphi = v \circ u\) sur \(I\).
2. Application : Déterminer le sens de variation de \(h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\) sur \([0, +\infty[\).

Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(G\) le barycentre des points pondérés \(\{(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 3)\}\).

1. Construire le point \(K\) barycentre de \(\{(A, 1) ; (B, 2)\}\).
2. Montrer que \(G\) est le milieu du segment \([KC]\). Construire \(G\).
3. Soit \(L\) le barycentre de \(\{(B, 2) ; (C, 3)\}\). Montrer que \(A, G, L\) sont alignés.

On considère deux points \(A\) et \(B\) tels que \(AB = 4\).

1. Déterminer et construire l’ensemble \((\mathcal{E}_1)\) des points \(M\) du plan tels que : \[ || \vec{MA} + \vec{MB} || = || \vec{MA} – \vec{MB} || \]
2. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Montrer que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 – \frac{AB^2}{4}\).
3. Déterminer l’ensemble \((\mathcal{E}_2)\) des points \(M\) tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 12\).

Soit \(m\) un paramètre réel. On considère le système \(\{(A, 2) ; (B, m-2) ; (C, m)\}\).

1. Pour quelles valeurs de \(m\) le barycentre \(G_m\) existe-t-il ?
2. Montrer que pour tout \(m \neq 0\), \(\vec{AG_m} = \frac{m}{2m} (\vec{AB} + \vec{AC}) – \frac{2}{2m}\vec{AB}\) (À vérifier et corriger selon le calcul vectoriel).
   Plus précisément : Montrer que \(\vec{AG_m} = \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{m-2}{2m}\vec{AB}\).
3. En déduire le lieu géométrique des points \(G_m\) lorsque \(m\) varie.