1. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition \(D_f\), le domaine de dérivabilité, puis calculer la fonction dérivée \(f'(x)\) :

• \(f(x) = 2x^3 – 4x^2 + 5x – 1\)
• \(g(x) = (3x^2 + 1)^4\)
• \(h(x) = \frac{2x – 1}{x + 3}\)
• \(k(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)
• \(u(x) = x \cos(2x)\)

2. Soit \(v\) la fonction définie par \(v(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x}\).
Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \[ v'(x) = \frac{1 + 2\cos x}{(2 + \cos x)^2} \]

Soit \(f\) la fonction définie par : \(\begin{cases} f(x) = x^2 – 2x & \text{si } x \geq 1 \\ f(x) = \frac{-x^2 + x}{x + 1} & \text{si } x < 1 \end{cases}\)

1. Calculer \(f(1)\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x_0 = 1\). Interpréter graphiquement le résultat.
3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(x_0 = 1\).
   (Rappel : Calculer \(\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) – f(1)}{x – 1}\)).
4. La fonction \(f\) est-elle dérivable en 1 ? Justifier.
5. Donner l’équation de la demi-tangente à la courbe \((C_f)\) au point d’abscisse 1 à droite.

On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x) = \frac{x^2 – 3x + 6}{x – 1}\).
Soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer \(D_f\) le domaine de définition de \(f\).
2. Calculer les limites aux bornes de \(D_f\) (en \(-\infty, +\infty, 1^-, 1^+\)).
   En déduire l’équation de l’asymptote verticale.
3. Montrer que pour tout \(x \in D_f\) : \(f'(x) = \frac{x^2 – 2x – 3}{(x – 1)^2}\).
4. Étudier le signe de \(f'(x)\) puis dresser le tableau de variations de \(f\).
5. Déterminer les coordonnées des extremums locaux de \(f\).
6. Déterminer les réels \(a, b, c\) tels que \(f(x) = ax + b + \frac{c}{x – 1}\).
7. Montrer que la droite \((\Delta) : y = x – 2\) est une asymptote oblique à la courbe \((C)\) au voisinage de \(\pm\infty\).
8. Étudier la position relative de \((C)\) par rapport à \((\Delta)\).