1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
   • \(\ln(x^2 – 3) = \ln(2x)\)
   • \(2(\ln x)^2 – 5\ln x + 2 = 0\)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(\ln(x+3) \leq \ln(2x+1)\).
3. Calculer les limites suivantes :
   • \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x+1)}{x}\)
   • \(\lim_{x \to 0^+} x \ln^2(x)\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0, +\infty[\) par : \(f(x) = x – 2 – \ln(x)\).

1. Calculer \(\lim_{x \to 0^+} f(x)\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
2. Montrer que pour tout \(x \in ]0, +\infty[\) : \(f'(x) = \frac{x-1}{x}\).
3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet exactement deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\) telles que \(0,1 < \alpha < 0,2\) et \(3,1 < \beta < 3,2\).

1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :
   • \(z_1 = \frac{3-i}{1+2i}\)
   • \(z_2 = (2+i\sqrt{3})^2\)
2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes :
   • \(a = 1 + i\)
   • \(b = \sqrt{3} – i\)
3. En déduire la forme trigonométrique et exponentielle de \(Z = a \times b\).
4. Calculer \(a^{2024}\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation : \(z^2 – 4z + 13 = 0\).
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives :
   \(z_A = 2 + 3i\), \(z_B = 2 – 3i\) et \(z_C = 5\).
   a) Placer les points \(A\), \(B\) et \(C\) dans le repère.
   b) Calculer la distance \(AB\) et \(AC\).
   c) Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
3. Déterminer l’affixe du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.