Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = x^3 – 3x – 4\).

1. Calculer les limites de \(g\) en \(-\infty\) et \(+\infty\).
2. Calculer \(g'(x)\) et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations de \(g\).
4. Montrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
   Vérifier que \(2,1 < \alpha < 2,2\).
5. En déduire le signe de \(g(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\) par : \[ f(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 – 1} \]

1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son domaine de définition. En déduire les asymptotes verticales.
2. Montrer que pour tout \(x \in D_f\) : \[ f'(x) = \frac{x \cdot g(x)}{(x^2 – 1)^2} \]
3. Étudier le signe de \(f'(x)\) (utiliser la Partie A) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y = x + 2\) est une asymptote oblique à la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(\pm\infty\).
5. Étudier la position relative de \((C_f)\) par rapport à \((\Delta)\).

Soit \(ABCDEFGH\) un cube d’arête \(a\). On note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([HG]\).

1. Montrer que les droites \((IJ)\) et \((BG)\) sont orthogonales.
   (On pourra utiliser le produit scalaire dans un repère orthonormé ou des propriétés géométriques).
2. Montrer que la droite \((FB)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
3. Déterminer l’intersection des plans \((AIC)\) et \((FGE)\).

On considère le tétraèdre \(FABC\).

1. Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ? Calculer son aire.
2. La hauteur du tétraèdre issue de \(F\) est le segment \([FB]\). Justifier.
3. Calculer le volume du tétraèdre \(FABC\).
4. Soit \(K\) un point de \([FB]\) tel que \(FK = \frac{1}{3}FB\). On coupe le tétraèdre par un plan passant par \(K\) et parallèle à la base \(ABC\).
   Calculer le volume du petit tétraèdre ainsi formé.