1. Résoudre dans \(\mathbb{N}\) l’équation : \(3 C_n^3 = 4 A_n^2\).
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(p \in \{1, \dots, n\}\) : \[ k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1} \]
3. Calculer les sommes suivantes en utilisant la formule du binôme de Newton : \[ S_1 = \sum_{k=0}^{n} 3^k C_n^k \quad \text{et} \quad S_2 = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k \]

On dispose d’un jeu de 32 cartes.

1. On tire simultanément 5 cartes (une « main »).
   a) Combien y a-t-il de mains possibles ?
   b) Combien de mains contiennent exactement 3 As ?
   c) Combien de mains contiennent au moins un Cœur ?
2. On tire successivement 3 cartes avec remise.
   Combien y a-t-il de tirages contenant exactement un Roi ?

Soient \(x\) et \(y\) deux entiers relatifs.

1. Déterminer le PGCD de 168 et 2024 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
2. Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) l’équation : \(x^2 – y^2 = 15\).
3. On considère le nombre \(N = 3^{2n} – 2^n\) où \(n \in \mathbb{N}\).
   a) Montrer que \(3^2 \equiv 2 [7]\).
   b) En déduire que \(N\) est divisible par 7 pour tout \(n\).
4. Trouver tous les entiers naturels \(n\) tels que \(\frac{3n + 11}{n + 2}\) soit un entier.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).

On considère les points \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 1, 0)\) et \(C(0, 0, 2)\).

1. Produit Vectoriel :
   a) Calculer les coordonnées de \(\vec{AB} \wedge \vec{AC}\).
   b) En déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
   c) Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
2. Sphère :
   Soit \((S)\) l’ensemble des points \(M(x, y, z)\) vérifiant : \[ x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 2y – 4z – 3 = 0 \] a) Montrer que \((S)\) est une sphère et déterminer son centre \(\Omega\) et son rayon \(R\).
   b) Vérifier que le point \(C\) appartient à \((S)\).
3. Intersection :
   a) Calculer la distance \(d(\Omega, (ABC))\).
   b) Montrer que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\).
   c) Déterminer le rayon \(r\) de ce cercle.