Utilisation de la différence et des propriétés des racines carrées pour comparer.

1. Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(a – b = 2\sqrt{3}\). Comparer \(a\) et \(b\).

2. Comparer les nombres \(4x – 1\) et \(4y – 1\) sachant que \(x \leq y\).

1. Comparer \(3\sqrt{2}\) et \(2\sqrt{5}\) en comparant d’abord leurs carrés.

2. En déduire le signe de \(3\sqrt{2} – 2\sqrt{5}\).

3. Simplifier l’expression : \(E = \sqrt{(3\sqrt{2} – 2\sqrt{5})^2}\).

4. Soit \(x\) un nombre strictement positif. Comparer \(\frac{1}{\sqrt{x} + 2}\) et \(\frac{1}{\sqrt{x} + 3}\).

Techniques d’encadrement de sommes, produits et quotients.

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels tels que :

\(2 \leq x \leq 5\) et \(3 \leq y \leq 4\)

1. Encadrer les expressions suivantes :

• \(x + y\)
• \(x \times y\)
• \(2x + 3y\)

2. Encadrement de la différence \(x – y\) :

• Encadrer d’abord \(-y\).
• En déduire l’encadrement de \(x + (-y)\), c’est-à-dire \(x – y\).

3. Encadrement d’un quotient :

• Encadrer \(\frac{1}{y}\).
• En déduire l’encadrement de \(\frac{x}{y}\).

4. Déduire un encadrement de \(A = \frac{2x – y}{x + 1}\).

Calcul de longueurs dans différentes configurations (triangle et papillon).

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 8 \text{ cm}\) et \(AC = 10 \text{ cm}\).
Soit \(M\) un point de \([AB]\) tel que \(AM = 2 \text{ cm}\).
La droite parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \([AC]\) en \(N\).

1. Faire une figure.
2. Calculer la longueur \(AN\).
3. Si \(BC = 12 \text{ cm}\), calculer la longueur \(MN\).

Les droites \((AE)\) et \((BD)\) sont sécantes en \(C\). Les droites \((AB)\) et \((DE)\) sont parallèles.

On donne : \(CA = 3 \text{ cm}\) ; \(CE = 6 \text{ cm}\) ; \(CD = 8 \text{ cm}\) ; \(AB = 4 \text{ cm}\).

1. Calculer la longueur \(CB\).
2. Calculer la longueur \(DE\).

Démonstration du parallélisme de deux droites.

Soit \(IJK\) un triangle tel que \(IJ = 9 \text{ cm}\), \(IK = 6 \text{ cm}\) et \(JK = 7,5 \text{ cm}\).

Soit \(E\) un point du segment \([IJ]\) tel que \(IE = 6 \text{ cm}\).

Soit \(F\) un point du segment \([IK]\) tel que \(IF = 4 \text{ cm}\).

1. Faire une figure soignée.
2. Calculer les rapports \(\frac{IE}{IJ}\) et \(\frac{IF}{IK}\). Simplifier les fractions.
3. Comparer les rapports.
4. Montrer que les droites \((EF)\) et \((JK)\) sont parallèles. (Citer précisément la propriété utilisée).
5. Le point \(G\) appartient à la droite \((EF)\). On donne \(EG = 2 \text{ cm}\). Le point \(G\) est-il sur le segment \([EF]\) ? (Question bonus de réflexion).