On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par : \[ u_0 = 2 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = \frac{u_n}{3 – u_n} \]

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
2. Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < u_n < 2\).
3. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\). En déduire qu’elle est convergente (on ne demande pas la limite ici).

On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par : \(v_n = 1 – \frac{2}{u_n}\).

1. Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique dont on déterminera la raison \(q\) et le premier terme \(v_0\).
2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
3. En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
4. Calculer la somme : \(S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n\).

1. Rappeler la formule de \(\cos(a+b)\) et \(\sin(a+b)\).
2. Calculer la valeur exacte de \(\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)\) en remarquant que \(\frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\).
3. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \[ \cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2} \cos\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \]
4. En déduire la résolution dans \(\mathbb{R}\) de l’équation : \(\cos(x) + \sin(x) = 1\).

Soit \(A(x) = \frac{1 – \cos(2x)}{\sin(2x)}\) définie pour \(x \not\equiv 0 [\pi]\) et \(x \not\equiv \frac{\pi}{2} [\pi]\).

1. Montrer que \(A(x) = \tan(x)\).
2. Résoudre dans l’intervalle \([0 ; 2\pi]\) l’inéquation : \[ \sin(2x) \geq \frac{1}{2} \]
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(2\cos^2(x) – 3\cos(x) + 1 = 0\) (Poser \(X = \cos(x)\)).