1. Calculer les limites suivantes : (3 pts)

• \(L_1 = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} – 2}{x^2 – 1}\)
• \(L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(x)}{x \sin(3x)}\)
• \(L_3 = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x+1} – x\)

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : (2 pts) \[ \begin{cases} f(x) = \frac{x^2 + x – 2}{x – 1} & \text{si } x \neq 1 \\ f(1) = m \end{cases} \] Déterminer la valeur du réel \(m\) pour que \(f\) soit continue en \(x_0 = 1\).

3. Montrer que l’équation \(x^3 + 2x – 1 = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(]0, 1[\). (2 pts)

On considère la fonction \(g\) définie par : \(g(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}\).

1. Déterminer \(D_g\) et calculer les limites aux bornes de \(D_g\). (1.5 pts)
2. Étudier les branches infinies de la courbe \((C_g)\). (1.5 pts)
3. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : (2 pts) \[ g'(x) = \frac{x+1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} \]
4. Étudier le signe de \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations complet de \(g\). (2 pts)
5. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C_g)\) au point d’abscisse \(0\). (1 pt)
6. Tracer l’allure de la courbe \((C_g)\) dans un repère orthonormé. (1 pt)

1. Simplifier l’expression suivante : \(A = \frac{\sqrt[3]{2} \times \sqrt[4]{4}}{\sqrt[6]{32}}\). (1.5 pts)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\sqrt[3]{x+1} = 2\). (1 pt)
3. Calculer la limite : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt{x+2}}\). (1.5 pts)