Calculer les limites suivantes :

1. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 – 4}\) (Forme 0/0). (1.5 pts)
2. \(\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} – 2}{x – 3}\) (Expression conjuguée). (1.5 pts)
3. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 – x + 5}{x^2 + 1}\) (Termes de plus haut degré). (1 pt)
4. \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2} + x)\) (Factorisation ou conjugué ? Attention au signe). (2 pts)
5. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(2x)}{x^2}\) (Utiliser la limite usuelle ou transformation). (2 pts)
6. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\tan(3x)}\). (2 pts)

Dans le plan orienté, on considère un carré \(ABCD\) de centre \(O\) tel que \((\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]\).

Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).

1. Faire une figure soignée. (0.5 pt)
2. Déterminer les images des points \(A, B, C\) et \(D\) par la rotation \(R\). (2 pts)
3. Soit \(M\) un point du segment \([AB]\) et \(N\) un point du segment \([BC]\) tels que \(AM = BN\).
   a) Montrer que \(R(M) = N\). (Indication : Utiliser la conservation des distances ou la décomposition vectorielle). (2 pts)
   b) En déduire la nature du triangle \(OMN\). (1.5 pts)
4. Déterminer l’image de la droite \((AB)\) par \(R\). (1 pt)
5. Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(A\) et parallèle à \((BD)\).
   Déterminer et construire l’image de \((\Delta)\) par la rotation \(R\). (2 pts)

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = \frac{x \sin x}{1 + x^2}\).

Calculer \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\). (Utiliser le théorème des gendarmes).