Calculer les limites suivantes :

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 1 – \cos x}{x \sin x}\). (1.5 pts)
2. \(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x} – 2}{\sqrt[3]{x+6} – 2}\). (2 pts)
3. \(\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} – mx \right)\) où \(m\) est un paramètre réel. Discuter selon les valeurs de \(m\). (2 pts)
4. Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Calculer \(\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n – n}{x – 1}\). (1.5 pts)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\).

1. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer sa fonction dérivée \(f'(x)\). (1.5 pts)
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\). (1.5 pts)
3. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C_f)\) au point d’abscisse \(x_0 = 1\). (1 pt)
4. Calculer la dérivée seconde \(f »(x)\). (1.5 pts)
5. Étudier le signe de \(f »(x)\) et déterminer les coordonnées des points d’inflexion de la courbe \((C_f)\). (1.5 pts)

Dans le plan orienté, on considère un triangle \(ABC\) rectangle isocèle en \(A\) tel que \((\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]\).

Soit \(r\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).

Soit \(M\) un point du plan distinct de \(A\). On note \(M’ = r(M)\).

1. Construire \(B’\) image de \(B\) et \(C’\) image de \(C\) par \(r\). (1 pt)
2. Montrer que \(B’ = C\). (0.5 pt)
3. Soit \(I\) le milieu de \([BC]\). Déterminer l’image de \(I\) par \(r\). (1 pt)
4. On suppose que \(M\) parcourt la droite \((BC)\).
   a) Déterminer l’image de la droite \((BC)\) par la rotation \(r\). (1.5 pts)
   b) En déduire le lieu géométrique du point \(M’\). (1 pt)
5. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).
   Montrer que \(H’\), image de \(H\) par \(r\), est le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite \((r(B)r(C))\). (1 pt)