1. Calculer les limites suivantes : (2 pts)
   • \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x} – 1}{e^x + x}\)
   • \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{\sin(2x)}\)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(e^{2x} – 4e^x + 3 = 0\). (1.5 pts)
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(e^{x^2 – 4} \geq 1\). (1.5 pts)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = (x-1)e^x + 1\).

1. Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et \(+\infty\). (1.5 pts)
2. Étudier les branches infinies de la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\). (1 pt)
3. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(f'(x) = xe^x\). (1.5 pts)
4. Dresser le tableau de variations complet de \(f\). (1.5 pts)
5. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) \geq 0\). (1 pt)
6. Donner l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C_f)\) au point \(I(0, 0)\). (1.5 pts)

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation : \(z^2 – 6z + 12 = 0\). (1.5 pts)
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives :
   \(a = 3 + i\sqrt{3}\), \(b = 3 – i\sqrt{3}\) et \(c = 2\).
   1. Écrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle. (1.5 pts)
   2. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\). Déterminer l’affixe du point \(A’\) image de \(A\) par \(R\). (1.5 pts)
   3. Soit \(h\) l’homothétie de centre \(C\) et de rapport \(k = 2\). Déterminer l’affixe du point \(B’\) image de \(B\) par \(h\). (1.5 pts)
   4. Déterminer la nature du triangle \(OAB\). Justifier. (1 pt)