Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite numérique définie par : \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{4u_n}{u_n + 2}\).

1. Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(0 < u_n < 2\). (1.5 pts)
2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\). En déduire qu’elle est convergente. (2 pts)
3. On considère la suite \((v_n)\) définie par : \(v_n = \frac{u_n – 2}{u_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
   1. Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = \frac{1}{2}\). (2 pts)
   2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). (1 pt)
   3. En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_n = \frac{2}{1 – v_n}\). (1 pt)
   4. Déterminer l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(\lim_{n \to +\infty} u_n\). (1.5 pts)
4. Calculer la somme \(S_n = \sum_{k=0}^{n} v_k\) en fonction de \(n\). (1 pt)

Soit \((w_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite telle que \(w_0 = 5\) et \(w_{n+1} = \sqrt{w_n + 12}\).

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(w_n > 4\). (1 pt)
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(w_{n+1} – 4 = \frac{w_n – 4}{\sqrt{w_n + 12} + 4}\). (1 pt)
3. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(w_{n+1} – 4 \leq \frac{1}{8}(w_n – 4)\). (1 pt)
4. En déduire la limite de la suite \((w_n)\). (1 pt)

1. Déterminer les fonctions primitives de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants : (4.5 pts)

• \(f_1(x) = x^3 – 3x^2 + \frac{1}{x^2}\) sur \(]0, +\infty[\).
• \(f_2(x) = (2x+1)(x^2+x-3)^4\) sur \(\mathbb{R}\).
• \(f_3(x) = \frac{1}{\sqrt{4x+1}}\) sur \(]-\frac{1}{4}, +\infty[\).

2. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = \sin(x)\cos^2(x)\). (1.5 pts)
Déterminer la primitive \(G\) de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) qui vérifie la condition \(G(0) = 1\).