On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \[ f(x) = \frac{x^3}{(x – 1)^2} \]

1. Déterminer \(D_f\) et calculer les limites aux bornes. En déduire l’existence d’une asymptote verticale. (1.5 pts)
2. Montrer que pour tout \(x \in D_f\) : \(f'(x) = \frac{x^2(x – 3)}{(x – 1)^3}\). (1.5 pts)
3. Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variations complet. (1 pt)
4. Montrer que la droite \((\Delta) : y = x + 2\) est une asymptote oblique à la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(\pm\infty\). (1.5 pts)
5. Étudier la position relative de \((C_f)\) par rapport à \((\Delta)\). (1 pt)
6. Calculer \(f »(x)\) et étudier la concavité de la courbe. Déterminer le point d’inflexion \(I\). (1.5 pts)
7. Montrer que le point \(I\) est un centre de symétrie pour la courbe \((C_f)\). (1 pt)

Soit \(ABCD\) un tétraèdre. On note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([CD]\).

1. Montrer que \(\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC}\). (1 pt)
2. Soit \(G\) l’isobarycentre des points \(A, B, C, D\).
   a) Montrer que \(G\) est le milieu de \([IJ]\). (1 pt)
   b) Montrer que pour tout point \(M\) de l’espace : \[ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = 4\vec{MG} \] (1 pt)
3. Déterminer l’ensemble \((\mathcal{E})\) des points \(M\) de l’espace tels que : \[ || \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} || = 2 || \vec{MA} + \vec{MB} – 2\vec{MC} || \] (2 pts)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).

On considère les points \(A(1, -1, 2)\), \(B(2, 0, 1)\) et \(C(0, 1, 3)\).

1. Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). (1 pt)
2. Déterminer une équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(C\) et perpendiculaire à la droite \((AB)\). (1.5 pts)
3. Soit \((S)\) la sphère d’équation : \(x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0\).
   a) Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((S)\). (1 pt)
   b) Calculer la distance \(d(\Omega, P)\). (1 pt)
   c) En déduire que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) selon un cercle dont on calculera le rayon \(r\). (1.5 pts)