1. Calculer les intégrales suivantes : (3 pts)
   • \(I = \int_{0}^{1} (x^2 – x + 2) \, dx\)
   • \(J = \int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx\)
   • \(K = \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx\)
2. En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale suivante : (1.5 pts)
   \[ L = \int_{0}^{1} (x+1)e^x \, dx \]
3. Calculer la valeur moyenne de la fonction \(f(x) = \cos(2x)\) sur l’intervalle \([0, \frac{\pi}{4}]\). (1.5 pts)

1. Résoudre l’équation différentielle \((E_1) : y’ – 3y = 0\). (1 pt)
2. Déterminer la solution \(f\) de l’équation \((E_1)\) telle que \(f(0) = 2\). (1 pt)
3. On considère l’équation différentielle \((E_2) : y » + 4y’ + 4y = 0\).
   1. Résoudre l’équation \((E_2)\). (1.5 pts)
   2. Déterminer la solution \(g\) de l’équation \((E_2)\) qui vérifie les conditions initiales \(g(0) = 1\) et \(g'(0) = -1\). (1.5 pts)
4. Résoudre l’équation \(y » + 9y = 0\). (1 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = e^x – x\).

1. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1.5 pts)
2. Dresser le tableau de variations de \(f\) et montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) \geq 1\). (1.5 pts)
3. Calculer l’intégrale \(A = \int_{0}^{1} f(x) \, dx\). (1 pt)
4. Soit \((C_f)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) avec \(\|\vec{i}\| = 2 \, cm\).
   1. Calculer en \(cm^2\) l’aire du domaine délimité par la courbe \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\). (2 pts)
   2. On considère la fonction \(h(x) = e^x\). Déterminer l’aire du domaine délimité par les courbes \((C_f)\) et \((C_h)\) entre les droites \(x = 0\) et \(x = 1\). (2 pts)