Dans un plan rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(2, 0)\), \(B(0, 4)\) et la droite \((\Delta)\) d’équation \(x – y – 2 = 0\).

1. Étude de triangle :
   a) Calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AO}\). En déduire \(\cos(\widehat{OAB})\). (1 pt)
   b) Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(O\) sur la droite \((AB)\). (1.5 pts)
2. Étude de cercle :
   Soit \((\mathcal{C})\) le cercle d’équation : \(x^2 + y^2 – 4x – 2y = 0\).
   a) Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((\mathcal{C})\). (0.5 pt)
   b) Montrer que la droite \((\Delta)\) est tangente au cercle \((\mathcal{C})\) en un point \(T\) que l’on déterminera. (1.5 pts)
   c) Vérifier que le point \(A\) appartient à \((\mathcal{C})\) et donner l’équation de la tangente au cercle en \(A\). (1 pt)
3. Lieu géométrique :
   Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que : \[ MA^2 – MB^2 = 12 \] (1.5 pts)

Soit la suite numérique \((u_n)\) définie par \(u_0 = \frac{1}{2}\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_{n+1} = \frac{u_n^2 + u_n}{u_n^2 + 1} \]

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < u_n < 1\). (1.5 pts)
2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\). En déduire qu’elle est convergente. (1.5 pts)
3. On pose \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\).
   a) Montrer que pour tout \(x \in ]0, 1[\), \(\frac{x^2+x}{x^2+1} < x\). (1 pt)
   b) En déduire que la limite de la suite \((u_n)\) est 0. (1 pt)
4. Suite auxiliaire : On considère la suite \(v_n = \frac{u_n}{1-u_n}\).
   Étudier la nature de cette suite (arithmétique/géométrique ?) ou étudier son comportement asymptotique.
   (Question ouverte de recherche : calculer \(v_0, v_1\) et conjecturer). (2 pts)

1. Résoudre dans l’intervalle \([0, 2\pi[\) l’équation : \[ \cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = \sqrt{2} \] (1.5 pts)

2. Soit \(x \in \mathbb{R}\). On pose \(A(x) = \frac{\sin(3x)}{\sin x} – \frac{\cos(3x)}{\cos x}\) (pour \(x \neq \frac{k\pi}{2}\)).
Montrer que \(A(x) = 2\). (1.5 pts)

3. Calculer la somme : \(S = \sum_{k=0}^{4} \cos^2\left(\frac{k\pi}{10}\right) = \cos^2(0) + \cos^2(\frac{\pi}{10}) + \dots + \cos^2(\frac{4\pi}{10})\).
(Indication : Utiliser \(\cos(\frac{\pi}{2} – \alpha) = \sin(\alpha)\)). (1.5 pts)

4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(\tan^2 x – (1+\sqrt{3})\tan x + \sqrt{3} < 0\). (1.5 pts)