Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points :
\(A(1, 2, 2)\), \(B(3, -1, 6)\), \(C(1, 1, 3)\) et \(\Omega(3, 4, 1)\).

1. Produit scalaire :
   a) Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). (0.5 pt)
   b) Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\). En déduire \(\cos(\widehat{BAC})\). (1 pt)
   c) Calculer l’aire du triangle \(ABC\). (1 pt)
2. Plan (ABC) :
   a) Montrer que le vecteur \(\vec{n}(2, 2, 1)\) est normal au plan \((P)\) passant par \(A\), \(B\) et \(C\). (1 pt)
   b) Déterminer une équation cartésienne du plan \((P)\). (1 pt)
3. Sphère :
   Soit \((S)\) l’ensemble des points \(M(x, y, z)\) tels que : \[ x^2 + y^2 + z^2 – 6x – 8y – 2z + 17 = 0 \] a) Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega\) et déterminer son rayon \(R\). (1.5 pts)
   b) Calculer la distance \(d(\Omega, P)\). (1 pt)
   c) Déterminer la position relative de la sphère \((S)\) et du plan \((P)\). Si ils se coupent, préciser la nature et les caractéristiques de l’intersection. (1 pt)

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = x^3 – 3x + 4\).

1. Calculer \(g'(x)\) et étudier son signe. (1 pt)
2. Dresser le tableau de variations de \(g\). (1 pt)
3. Déduire que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(g(x) > 0\). (1 pt)

On considère la fonction \(f\) définie par : \(f(x) = \frac{x^3 – 2}{x^2 + 1}\).
Soit \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.

1. Déterminer \(D_f\) et calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et \(+\infty\). (1 pt)
2. Montrer que \(f'(x) = \frac{x \cdot g(x)}{(x^2 + 1)^2}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). (2 pts)
3. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\). (1.5 pts)
4. Montrer que la droite \((\Delta) : y = x\) est une asymptote oblique à \((C_f)\). (1.5 pts)
5. Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\). (1 pt)
6. Donner l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe au point d’abscisse \(0\). (1 pt)
7. Construire \((\Delta)\) et \((C_f)\). (1 pt)