1. Résoudre dans \(\mathbb{N}\) l’équation : \(C_n^2 + A_n^2 = 30\). (1.5 pts)
2. Calculer la somme : \(S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} C_n^k\). (Indication : Utiliser \(\frac{1}{k+1}C_n^k = \frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}\)). (1.5 pts)

Une urne contient 10 boules : 4 rouges numérotées \(-1, 0, 1, 2\), 3 vertes numérotées \(1, 2, 3\) et 3 noires numérotées \(0, 1, 2\).

On tire simultanément 3 boules de l’urne.

1. Combien y a-t-il de tirages possibles ? (0.5 pt)
2. Combien de tirages comportent exactement deux boules de même couleur ? (1 pt)
3. Combien de tirages comportent des boules dont le produit des numéros est nul ? (1 pt)
4. Combien de tirages comportent des boules dont la somme des numéros est égale à 0 ? (1.5 pts)

1. Déterminer les chiffres \(x\) et \(y\) pour que le nombre \(\overline{13x5y}\) soit divisible par 3 et 11 (en base 10). (1.5 pts)
2. Soit \(n\) un entier naturel. On pose \(a = 5n + 3\) et \(b = 2n + 1\).
   a) Calculer \(2a – 5b\). En déduire les diviseurs communs possibles de \(a\) et \(b\). (1 pt)
   b) Pour quelles valeurs de \(n\), \(PGCD(a, b) = 1\) ? (1 pt)
3. On considère l’équation \((E) : x^2 – y^2 = 36\) dans \(\mathbb{N}^2\).
   a) Vérifier que \(x\) et \(y\) ont la même parité. (1 pt)
   b) Résoudre l’équation \((E)\). (1.5 pts)
4. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(7\) divise \(3^{2n+1} + 2^{n+2}\). (1 pt)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).

On considère les points \(A(1, 2, 3)\), \(B(2, 3, 1)\) et \(C(3, 1, 2)\).

1. Produit Vectoriel :
   a) Calculer les coordonnées de \(\vec{AB} \wedge \vec{AC}\). (1 pt)
   b) En déduire que les points \(A, B, C\) ne sont pas alignés et calculer l’aire du triangle \(ABC\). (1 pt)
   c) Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (1 pt)
2. Distance et Volume :
   Soit \(D(1, 1, 1)\).
   a) Calculer la distance du point \(D\) au plan \((ABC)\). (1 pt)
   b) En déduire le volume du tétraèdre \(DABC\). (1 pt)
3. Distance Droite-Point :
   Calculer la distance du point \(D\) à la droite \((AB)\) en utilisant le produit vectoriel. (1 pt)
   (Formule : \(d(D, (AB)) = \frac{||\vec{AB} \wedge \vec{AD}||}{||\vec{AB}||}\)).