Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(1, 2, 1)\), \(B(2, 0, 1)\) et \(C(1, 0, 0)\).

1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés. (1 pt)
2. Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (1.5 pts)
3. Soit \((S)\) la sphère d’équation : \(x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 2y – 4 = 0\).
   1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de la sphère \((S)\). (1.5 pts)
   2. Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((ABC)\). (1 pt)
   3. En déduire la position relative de la sphère \((S)\) et du plan \((ABC)\). (1 pt)

Soient les vecteurs \(\vec{u}(1, 2, -1)\) et \(\vec{v}(0, 1, 3)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}\). (1.5 pts)
2. Calculer la norme de \(\vec{w}\). (1 pt)
3. Soient les points \(A\), \(B\) et \(C\) tels que \(\vec{AB} = \vec{u}\) et \(\vec{AC} = \vec{v}\).
   Calculer l’aire du triangle \(ABC\). (1.5 pts)

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 boules rouges numérotées 1, 1, 2, 2 et 6 boules vertes numérotées 1, 2, 2, 3, 3, 3.

Partie A : Tirage simultané
On tire simultanément 3 boules de l’urne.

1. Calculer la probabilité des événements suivants :
   • \(A\) : « Obtenir 3 boules de même couleur ». (1.5 pts)
   • \(B\) : « Obtenir 3 boules portant le même numéro ». (1.5 pts)
   • \(C\) : « Obtenir au moins une boule rouge ». (1.5 pts)

Partie B : Variable Aléatoire
On tire au hasard une seule boule de l’urne. On considère la variable aléatoire \(X\) égale au numéro porté par la boule tirée.

1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\). (1.5 pts)
2. Calculer l’espérance mathématique \(E(X)\). (1 pt)

Partie C : Loi Binomiale
On répète l’expérience de la partie B cinq fois de suite, en remettant la boule tirée dans l’urne après chaque tirage.

1. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 fois une boule portant le numéro 3 ? (1.5 pts)
2. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une fois une boule portant le numéro 1. (1.5 pts)