Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB = 3\) et \(AC = 4\).

On considère le point \(G\) barycentre du système pondéré \(\{ (A, 1) ; (B, 1) ; (C, 2) \}\).

1. Construire le point \(K\) barycentre de \(\{ (A, 1) ; (B, 1) \}\). Que représente \(K\) pour le segment \([AB]\) ? (1 pt)
2. Montrer que \(G\) est le barycentre de \(\{ (K, 2) ; (C, 2) \}\). En déduire la position de \(G\). (1.5 pts)
3. Calculer \(\vec{GA} + \vec{GB} + 2\vec{GC}\) en fonction du vecteur nul. (0.5 pt)
4. Déterminer et construire l’ensemble \((\Delta)\) des points \(M\) du plan tels que : (2 pts) \[ || \vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC} || = 4 || \vec{MA} – \vec{MC} || \]
5. Soit \(J\) un point défini par \(\vec{AJ} = \frac{2}{3} \vec{AC}\). Montrer que \(J\) est le barycentre de \(\{ (A, 1) ; (C, 2) \}\). (1 pt)
6. En déduire que les points \(B\), \(G\) et \(J\) sont alignés. (1 pt)

Soit \(EFG\) un triangle tel que \(EF = 6\), \(EG = 4\) et \(\widehat{FEG} = \frac{\pi}{3}\).

1. Calculer le produit scalaire \(\vec{EF} \cdot \vec{EG}\). (1 pt)
2. Calculer la distance \(FG\) en utilisant le théorème d’Al-Kashi. (1.5 pts)
3. Soit \(I\) le milieu de \([FG]\). Calculer la distance \(EI\) (Théorème de la médiane). (1.5 pts)

Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(-2, 3)\), \(B(2, 1)\) et \(C(4, 5)\).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\), puis calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\). (1.5 pts)
2. En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). (1 pt)
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((BC)\). (1.5 pts)
4. Déterminer une équation cartésienne du cercle \((\mathcal{C})\) de diamètre \([BC]\). (2 pts)
5. Vérifier que le point \(A\) appartient au cercle \((\mathcal{C})\). (1 pt)
6. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) au cercle \((\mathcal{C})\) au point \(A\). (1 pt)

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\).

Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que : \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = a^2\).