Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par : \[ u_0 = 3 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = \frac{5u_n – 4}{u_n + 1} \]

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (0.5 pt)
2. Montrer par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n > 2\). (1.5 pts)
3. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\). (1 pt)
4. En déduire que \((u_n)\) est convergente. (0.5 pt)

On considère la suite \((v_n)\) définie par : \(v_n = \frac{1}{u_n – 2}\).

1. Montrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r = \frac{1}{3}\). (1.5 pts)
2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). (1 pt)
3. En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer la limite de \((u_n)\). (1.5 pts)
4. Calculer la somme : \(S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_{2024}\). (1.5 pts)

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(2\cos(x) – \sqrt{3} = 0\). (1 pt)
2. Résoudre dans l’intervalle \([-\pi ; \pi]\) l’équation : \(\tan(2x) = -\sqrt{3}\). (1.5 pts)
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\sqrt{3}\cos(x) – \sin(x) = 1\). (1.5 pts)

On pose \(P(x) = 2\cos^2(x) – \cos(x) – 1\).

1. Résoudre dans \([0 ; 2\pi]\) l’équation \(P(x) = 0\). (1.5 pts)
2. Résoudre dans \([0 ; 2\pi]\) l’inéquation \(P(x) < 0\). (1.5 pts)

Soit \(A(x) = \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} – \frac{\cos(3x)}{\cos(x)}\) (pour \(x \not\equiv 0 [\frac{\pi}{2}]\)).

1. Montrer que \(A(x) = 2\). (2 pts)
2. Calculer \(\cos(4x)\) en fonction de \(\cos(x)\). (1 pt)

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique telle que \(u_5 = 10\) et \(u_{10} = 25\).

Calculer la raison \(r\) et le premier terme \(u_0\).