Différentielle de la Fonction Réciproque
Le théorème d’inversion locale ne se contente pas de garantir l’existence et la régularité d’une fonction réciproque $f^{-1}$. Il fournit également une formule explicite pour calculer sa différentielle, et par conséquent sa matrice jacobienne. Cette formule est la généralisation directe de la règle de dérivation de l’inverse pour les fonctions d’une variable.
1. La Formule d’Inversion
L’idée fondamentale est que la différentielle de l’inverse est l’inverse de la différentielle.
Soit $f: U \to W$ un difféomorphisme local de classe C¹ entre deux ouverts $U, W \subset \mathbb{R}^p$. Soit $f^{-1}: W \to U$ sa fonction réciproque.
Pour tout $x \in U$ et $y = f(x) \in W$, la différentielle de $f^{-1}$ au point $y$ est l’application linéaire inverse de la différentielle de $f$ au point $x$ :
$$ d(f^{-1})_y = (df_x)^{-1} $$
En termes de matrices jacobiennes, cela signifie que la matrice jacobienne de l’inverse en $y$ est la matrice inverse de la jacobienne de $f$ en $x$ : $$ J_{f^{-1}}(y) = [J_f(x)]^{-1} $$
Cette formule est analogue à la formule en 1D, $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$, où l’inverse d’un nombre est remplacé par l’inverse d’une matrice.
2. Méthode de Calcul
Pour trouver la jacobienne de $f^{-1}$ en un point $y$, la procédure est la suivante :
- Trouver le point $x$ correspondant tel que $y=f(x)$.
- Calculer la matrice jacobienne $J_f(x)$ de la fonction directe en ce point $x$.
- Calculer l’inverse de cette matrice, $[J_f(x)]^{-1}$. Le résultat est $J_{f^{-1}}(y)$.
Exemple Détaillé : Coordonnées Polaires
Soit le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires. La fonction directe est $f(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta) = (x,y)$. La fonction réciproque est $f^{-1}(x,y) = (\sqrt{x^2+y^2}, \arctan(y/x)) = (r,\theta)$.
Nous allons retrouver la jacobienne de $f^{-1}$ en utilisant le théorème.
- Jacobienne de $f$ : $$ J_f(r, \theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} $$ Son déterminant est $r$, donc elle est inversible pour $r \neq 0$.
- Inverse de la Jacobienne de $f$ : L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. $$ [J_f(r, \theta)]^{-1} = \frac{1}{r} \begin{pmatrix} r\cos\theta & r\sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\frac{\sin\theta}{r} & \frac{\cos\theta}{r} \end{pmatrix} $$
- Identification avec la Jacobienne de $f^{-1}$ : Le théorème nous dit que cette matrice est $J_{f^{-1}}(x,y)$. $$ J_{f^{-1}}(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial r}{\partial x} & \frac{\partial r}{\partial y} \\ \frac{\partial \theta}{\partial x} & \frac{\partial \theta}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\frac{\sin\theta}{r} & \frac{\cos\theta}{r} \end{pmatrix} $$
- Expression en coordonnées cartésiennes : En remplaçant $\cos\theta = x/r = x/\sqrt{x^2+y^2}$ et $\sin\theta = y/r = y/\sqrt{x^2+y^2}$, on obtient les dérivées partielles de $r$ et $\theta$ : $$ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ $$ \frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{y/r}{r} = -\frac{y}{r^2} = -\frac{y}{x^2+y^2}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{x/r}{r} = \frac{x}{r^2} = \frac{x}{x^2+y^2} $$ Ces résultats sont bien ceux que l’on obtiendrait en dérivant directement les formules de $r(x,y)$ et $\theta(x,y)$.