Le disque de Poincaré constitue le modèle plan standard de la géométrie hyperbolique de courbure constante -1. Nous définissons formellement ce modèle et démontrons ses propriétés fondamentales.
Définition formelle du modèle
Le domaine et la métrique
Soit $\mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1 \}$ le disque unité ouvert du plan complexe. La métrique hyperbolique sur $\mathbb{D}$ est définie par l’élément de longueur :
$$ ds = \frac{2 \, |dz|}{1 – |z|^2} $$
Cette métrique induit une distance $d_{\mathbb{D}}$ entre deux points $z_1, z_2 \in \mathbb{D}$.
Théorème fondamental : Expression de la distance
La distance hyperbolique dans le disque de Poincaré s’exprime par :
$$ d_{\mathbb{D}}(z_1, z_2) = \text{arcosh} \left( 1 + \frac{2|z_1 – z_2|^2}{(1 – |z_1|^2)(1 – |z_2|^2)} \right) $$
Cette formule équivaut à :
$$ d_{\mathbb{D}}(z_1, z_2) = 2 \, \text{artanh} \left| \frac{z_1 – z_2}{1 – \overline{z_1}z_2} \right| $$
Preuve de l’équivalence
Preuve : Considérons la transformation de Möbius $T(z) = \frac{z – z_1}{1 – \overline{z_1}z}$. C’est une isométrie du disque de Poincaré envoyant $z_1$ sur 0. La distance $d_{\mathbb{D}}(z_1, z_2)$ devient alors $d_{\mathbb{D}}(0, T(z_2))$. Or $d_{\mathbb{D}}(0, r) = 2 \, \text{artanh}(r)$ pour $0 \leq r < 1$. On a $|T(z_2)| = \left| \frac{z_2 – z_1}{1 – \overline{z_1}z_2} \right|$. D’où la seconde formule. La relation entre $\text{arcosh}$ et $\text{artanh}$ donne la première. $\blacksquare$
Théorème : Géodésiques et автоморфismes
Les géodésiques du disque de Poincaré sont exactement les arcs de cercles (ou droites) orthogonaux au cercle unité $\partial \mathbb{D}$. De plus, le groupe des automorphismes de $(\mathbb{D}, d_{\mathbb{D}})$ est le groupe des transformations de Möbius préservant $\mathbb{D}$ :
$$ \phi_{a, \theta}(z) = e^{i\theta} \frac{z – a}{1 – \overline{a}z}, \quad a \in \mathbb{D}, \theta \in \mathbb{R} $$
Exemple concret
Pour $a=0$, $\phi_{0,\theta}(z)=e^{i\theta}z$ est une rotation. Pour $a=\frac{1}{2}$ et $\theta=0$, on obtient $\phi(z)=\frac{z-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}z}$. Cette transformation envoie $\frac{1}{2}$ sur 0 et préserve la métrique hyperbolique.
Théorème : Curvature sectionnelle
En tout point $z \in \mathbb{D}$, la courbure sectionnelle du disque de Poincaré vaut exactement $-1$. La forme volume $\frac{4 \, dx \wedge dy}{(1 – |z|^2)^2}$ est la forme de Liouville de la métrique.
Exemples et contre-exemples
Exemple 1 : Calcul de distance
Soient $z_1 = 0$ et $z_2 = \frac{1}{2}$. Alors :
$$ d_{\mathbb{D}}(0, 1/2) = 2 \, \text{artanh}(1/2) = \log 3 \approx 1.0986 $$
La distance euclidienne est $1/2$, mais la distance hyperbolique est accrue près de la frontière.
Exemple 2 : Géodésique
Les points $0$ et $r \in (0,1)$ sur l’axe réel sont joints par la géodésique suivant l’axe réel. Sa longueur hyperbolique est :
$$ \int_0^r \frac{2 \, dt}{1 – t^2} = 2 \, \text{artanh}(r) $$
Cela coïncide avec la distance ci-dessus.
Contre-exemple : Non-additivité euclidienne
Soient $z_1 = 0$, $z_2 = 0.9$, $z_3 = 0.99$ alignés. On a :
$d_{\mathbb{D}}(0,0.9) \approx 2.994$, $d_{\mathbb{D}}(0.9,0.99) \approx 2.646$, somme $\approx 5.64$, alors que $d_{\mathbb{D}}(0,0.99) \approx 4.717$. Ainsi $d_{\mathbb{D}}(0,0.99) \neq d_{\mathbb{D}}(0,0.9) + d_{\mathbb{D}}(0.9,0.99)$. La géodésique n’est pas un segment euclidien sauf si les points sont sur un diamètre.
Applications et références
Le disque de Poincaré permet de modéliser l’espace hyperbolique et apparaît en théorie des fonctions, en physique théorique et en topologie. Pour des exercices complémentaires, consultez notre banque d’exercices de mathématiques supérieures. Une perspective historique est donnée par CultureMATH.