Cours : La droite dans le plan (Parallélisme et perpendicularité)

Étudier La droite dans le plan est la première étape absolument indispensable pour devenir un véritable as de la géométrie au collège. Dans cette leçon détaillée, nous allons découvrir tous les secrets des lignes, des segments, et la manière dont ils interagissent sur ta feuille de papier !

Activité de découverte : Le tracé de la route du désert

Imaginons que tu sois un ingénieur chargé de construire une toute nouvelle route en plein milieu d’un immense désert plat. Sur ta carte, qui représente le « plan » mathématique, tu as deux villes : la ville $A$ et la ville $B$.

Ton objectif est de relier ces deux villes par le chemin le plus court possible. Naturellement, tu vas prendre ta règle et tracer un trait parfaitement droit entre $A$ et $B$. Ce chemin direct, qui a un début (la ville $A$) et une fin (la ville $B$), s’appelle un segment en géométrie.

Mais imagine maintenant que ton budget soit illimité et que tu décides de prolonger cette route toute droite au-delà de la ville $B$, pour aller toujours plus loin vers l’horizon. Et tu fais la même chose au-delà de la ville $A$. Ta route n’a plus ni début ni fin. Elle s’étire à l’infini dans les deux directions. En mathématiques, cette ligne infinie, parfaitement droite et sans épaisseur, est ce que l’on appelle une droite. C’est l’objet géométrique le plus fondamental que nous allons apprendre à dompter aujourd’hui !

Je retiens : Le vocabulaire et les notations géométriques

En géométrie, la rigueur est reine. On n’écrit pas des phrases entières pour décrire une figure, on utilise des symboles mathématiques précis. Il est crucial de connaître la différence entre une droite, un segment et une demi-droite.

Le Point : C’est l’élément de base. Il n’a aucune dimension (ni longueur, ni largeur). On le représente par une petite croix $\times$ et on le nomme TOUJOURS avec une lettre majuscule (par exemple, le point $A$, le point $M$).
La Droite : C’est une ligne droite illimitée des deux côtés. Elle est infinie. Pour la nommer, on utilise des parenthèses. Si elle passe par les points $A$ et $B$, on la note $(AB)$ ou $(BA)$. On peut aussi lui donner un petit nom avec une lettre minuscule entre parenthèses, comme la droite $(d)$ ou $(\Delta)$.
Le Segment : C’est une portion de droite délimitée par deux points, appelés ses « extrémités ». Il a une longueur mesurable. On le note avec des crochets. Le segment d’extrémités $A$ et $B$ se note $[AB]$ ou $[BA]$. La longueur de ce segment s’écrit sans aucun crochet, juste $AB = 5$ cm.
La Demi-droite : C’est une ligne droite qui a un point de départ (une origine) mais qui est illimitée de l’autre côté. On utilise un crochet du côté de l’origine et une parenthèse du côté infini. La demi-droite d’origine $A$ passant par $B$ se note $[AB)$. Attention, $[AB)$ et $[BA)$ sont deux demi-droites totalement différentes !

Je retiens : Appartenance et points alignés

Puisque la droite dans le plan est composée d’une infinité de points, il est très utile de savoir dire si un point se trouve, ou non, sur une ligne tracée.

Le vocabulaire de l’appartenance

Pour indiquer qu’un point se trouve exactement sur une ligne (droite, segment ou demi-droite), on utilise le verbe « appartenir » et le symbole mathématique $\in$.

Si le point $C$ est posé sur la droite $(AB)$, on écrit : $C \in (AB)$. On lit « $C$ appartient à la droite $AB$ ».
Si le point $D$ se trouve en dehors de la droite $(AB)$, on utilise le symbole barré $\notin$. On écrit : $D \notin (AB)$. On lit « $D$ n’appartient pas à la droite $AB$ ».

Les points alignés

Des points sont dits alignés s’ils appartiennent tous à la même droite. Pour vérifier si trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, il suffit de placer sa règle le long des points $A$ et $B$. Si le point $C$ touche aussi le bord de la règle, alors les points sont alignés, ce qui s’écrit mathématiquement : $C \in (AB)$.

Je retiens : Les positions relatives de deux droites

Si tu traces deux droites sur une même feuille de papier (qui représente le plan), que peut-il se passer ? Il n’existe que deux grandes familles de situations : soit elles se croisent, soit elles ne se croisent jamais.

1. Les droites sécantes (qui se croisent)

Deux droites sont sécantes si elles ont un et un seul point en commun. Ce point unique s’appelle le « point d’intersection ».

Cas particulier très important : les droites perpendiculaires. Ce sont des droites sécantes qui se croisent en formant quatre angles droits (des angles de $90^\circ$). On note le fait que la droite $(d_1)$ est perpendiculaire à la droite $(d_2)$ avec le symbole $\perp$. On écrit : $(d_1) \perp (d_2)$.

2. Les droites parallèles (qui ne se croisent jamais)

Deux droites sont parallèles si elles n’ont absolument aucun point en commun, même si on les prolonge à l’infini. Elles vont toujours dans la même direction avec le même écartement. On note le fait que $(d_1)$ est parallèle à $(d_2)$ avec le symbole $\parallel$. On écrit : $(d_1) \parallel (d_2)$.

Remarque : En mathématiques, on considère que deux droites superposées (identiques) sont des droites « confondues ». Elles font partie de la famille des droites parallèles.

Méthodes et Exemples résolus : Les propriétés fondamentales

Pour résoudre des problèmes de géométrie, on s’appuie sur des règles indiscutables appelées « propriétés ». Voici les trois propriétés indispensables concernant la droite dans le plan.

Propriété 1 : La droite unique.
Par un seul point $A$, on peut tracer une infinité de droites. Elles forment une sorte d’étoile.
Mais par deux points distincts $A$ et $B$, il ne passe qu’une seule et unique droite. C’est pour cela qu’il suffit de deux points pour définir une droite, et qu’on l’appelle $(AB)$.

Propriété 2 : Deux perpendiculaires à une même troisième.
Règle : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Exemple d’utilisation : On sait que $(d_1) \perp (d_3)$ et que $(d_2) \perp (d_3)$. On peut donc affirmer avec certitude mathématique que $(d_1) \parallel (d_2)$. C’est la méthode la plus utilisée pour prouver un parallélisme !

Propriété 3 : Une perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Règle : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est obligatoirement perpendiculaire à l’autre.
Exemple d’utilisation : On sait que $(AB) \parallel (CD)$. On trace une droite $(EF)$ qui est perpendiculaire à $(AB)$. Alors, la droite $(EF)$ viendra forcément couper la droite $(CD)$ à angle droit. On en déduit que $(EF) \perp (CD)$.

Attention aux pièges fréquents en Géométrie !

Voici les erreurs gravissimes que de très nombreux élèves commettent au collège. Lis-les attentivement pour immuniser ton raisonnement !

Mélanger les parenthèses et les crochets : Écrire « La droite $[AB]$ » est une faute grave. Les crochets emprisonnent la ligne, ce qui en fait un segment. Si tu parles d’une droite infinie, tu dois utiliser des parenthèses : la droite $(AB)$. De même, écrire « Le segment $(AB)$ » n’a aucun sens.
Confondre l’objet et sa longueur : On ne calcule jamais « la droite $(AB)$ » ni « le segment $[AB]$ ». On calcule la longueur du segment. Pour parler de la longueur (qui est un nombre en centimètres), on retire tous les crochets. On écrit $AB = 5$ cm. Si tu écris $[AB] = 5$ cm, ton professeur barrera la réponse.
Ne pas prolonger les droites sur le dessin : Sur ton cahier, une droite doit traverser largement les points qui la définissent. Si on te demande de tracer la droite $(MN)$ et que tu t’arrêtes pile sur les croix $M$ et $N$, tu as dessiné le segment $[MN]$. Prolonge toujours tes traits au crayon de papier !
Se fier uniquement à ses yeux : Ce n’est pas parce que deux droites ont l’air parallèles sur un croquis qu’elles le sont mathématiquement. En géométrie, « avoir l’air » n’est pas une preuve. Tu dois toujours utiliser les symboles donnés dans l’énoncé (les petits carrés pour les angles droits) et les propriétés du cours pour affirmer qu’elles sont parallèles ou perpendiculaires.

Exercices d’application progressifs

C’est l’heure de passer à la pratique. Prends une feuille quadrillée, un crayon à papier bien taillé, une règle, une équerre, et rédige tes réponses avec la plus grande rigueur mathématique possible.

Série 1 : Notations et Vocabulaire

Exercice 1 : Traduis chaque phrase en langage mathématique (avec les bons symboles).
a) La droite passant par les points $E$ et $F$.
b) Le segment d’extrémités $M$ et $N$.
c) La longueur du segment allant de $O$ à $P$ est de $8$ centimètres.
d) La demi-droite qui a pour origine le point $S$ et qui passe par le point $T$.

Exercice 2 : Que désigne chacune des écritures mathématiques suivantes ? (Réponds par une phrase en français).
a) $[RS]$
b) $(UV)$
c) $WX = 4$ cm
d) $[AB)$

Exercice 3 : Combien de droites différentes peut-on faire passer par un seul point $A$ ? Combien de droites différentes peut-on faire passer par deux points distincts $A$ et $B$ ?

Série 2 : Appartenance et Alignement

Exercice 4 : On trace un segment $[KL]$. Le point $M$ est posé sur ce segment, entre $K$ et $L$. Le point $P$ est placé dans le prolongement de ce segment, à l’extérieur. Le point $Z$ est complètement ailleurs sur la feuille.
Recopie et complète avec les symboles $\in$ ou $\notin$ :
a) $M \dots [KL]$
b) $P \dots [KL]$
c) $P \dots (KL)$
d) $Z \dots (KL)$

Exercice 5 : Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés dans cet ordre sur une ligne droite. Le point $D$ n’est pas sur cette ligne.
Vrai ou Faux ? Justifie mentalement.
a) $B \in [AC]$
b) $C \in [AB)$
c) $A \in [BC)$
d) $D \in (AB)$

Série 3 : Positions relatives des droites

Exercice 6 : Comment appelle-t-on deux droites qui ont un seul point en commun ? Comment appelle-t-on ce point ?

Exercice 7 : Comment s’appellent deux droites sécantes qui forment un angle de $90^\circ$ ? Quel symbole mathématique utilise-t-on pour l’écrire ?

Exercice 8 : Comment appelle-t-on deux droites qui ne se croiseront jamais, même si on les prolonge à l’infini ? Quel symbole mathématique utilise-t-on ?

Série 4 : Raisonnement et Propriétés géométriques

Exercice 9 : Sur une figure, on sait que la droite $(d_1)$ est perpendiculaire à la droite $(d_3)$. On sait aussi que la droite $(d_2)$ est perpendiculaire à la droite $(d_3)$.
Rédige une conclusion mathématique complète expliquant quelle est la position relative des droites $(d_1)$ et $(d_2)$.

Exercice 10 : On te donne deux droites parallèles $(D_1)$ et $(D_2)$. Tu traces une droite $(\Delta)$ qui vient couper $(D_1)$ en formant un angle droit parfait. Que va-t-il se passer obligatoirement lorsque la droite $(\Delta)$ coupera $(D_2)$ ? Énonce la règle du cours qui le justifie.

Exercice 11 (Démonstration en 3 étapes) :
Énoncé : Sur un croquis, tu as un rectangle $ABCD$. La définition d’un rectangle indique que ses côtés opposés sont parallèles et qu’il possède quatre angles droits. En particulier, les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont portés par des droites parallèles. On trace une droite $(d)$ qui est perpendiculaire à la droite $(AB)$. Démontre que la droite $(d)$ est perpendiculaire à la droite $(CD)$.
Complète la rédaction :
– On sait que …
– Or la propriété affirme que …
– Donc …

Série 5 : Problèmes de construction et logique

Exercice 12 : Trace sur ta feuille une droite $(d)$ et place un point $A$ en dehors de cette droite. Utilise ton équerre pour tracer la droite $(d_1)$ passant par $A$ et perpendiculaire à $(d)$. Place un point $B$ sur $(d_1)$. Trace la droite $(d_2)$ passant par $B$ et perpendiculaire à $(d_1)$. Que peux-tu dire des droites $(d)$ et $(d_2)$ ?

Exercice 13 : Place trois points $A$, $B$ et $C$ qui ne sont PAS alignés (en forme de triangle). Trace les droites $(AB)$, $(AC)$ et $(BC)$. Combien de points d’intersection y a-t-il au total sur ta figure ?

Exercice 14 : Place quatre points $A$, $B$, $C$, et $D$ pour qu’ils forment un carré parfait sur les carreaux de ton cahier. Donne toutes les paires de droites perpendiculaires et toutes les paires de droites parallèles que tu peux identifier en utilisant le nom des points.

Exercice 15 (Le défi de l’ingénieur) : Tu as deux routes parallèles, représentées par les droites $(R_1)$ et $(R_2)$. Une rivière, la droite $(R_3)$, coupe la route $(R_1)$ à angle droit. La route $(R_2)$ doit traverser la rivière par un pont. Quel sera l’angle formé par la route $(R_2)$ et la rivière $(R_3)$ au niveau du pont ? Justifie ta réponse en utilisant les propriétés du cours sur les positions relatives de la droite dans le plan.

Corrections détaillées étape par étape

C’est ici que tu vas véritablement forger ton esprit mathématique. La correction n’est pas qu’une simple liste de réponses, c’est l’explication minutieuse de pourquoi la réponse est correcte. Prends le temps de lire l’analyse de chaque exercice pour corriger tes propres erreurs et perfectionner ton utilisation des symboles géométriques.

Correction de la Série 1 : Notations et Vocabulaire

Correction de l’exercice 1 :
Le passage du français aux mathématiques demande l’usage strict des parenthèses ou des crochets.
a) Une droite est infinie. On utilise des parenthèses. La réponse exacte est : $(EF)$.
b) Un segment est un morceau limité par ses deux extrémités. On utilise des crochets. La réponse exacte est : $[MN]$.
c) La longueur est un nombre. On ne met ni crochet ni parenthèse autour des lettres. On écrit simplement l’égalité : $OP = 8$ cm.
d) Une demi-droite a un début fixe (l’origine) et une fin infinie. On met un crochet du côté de l’origine $S$, et une parenthèse du côté de la direction infinie $T$. La réponse exacte est : $[ST)$.

Correction de l’exercice 2 :
Il faut faire l’opération inverse de l’exercice précédent en faisant très attention à la forme des bordures.
a) L’écriture $[RS]$ possède des crochets des deux côtés. Cela désigne le segment d’extrémités $R$ et $S$.
b) L’écriture $(UV)$ possède des parenthèses. Cela désigne la ligne infinie, donc la droite passant par les points $U$ et $V$.
c) L’écriture $WX = 4$ cm n’a aucune bordure. Cela parle d’une mesure. Elle désigne la longueur du segment $[WX]$, qui est de $4$ centimètres.
d) L’écriture $[AB)$ possède un crochet puis une parenthèse. Cela désigne la demi-droite d’origine le point $A$ et passant par le point $B$.

Correction de l’exercice 3 :
C’est une question de cours sur les axiomes fondamentaux de la géométrie de la droite dans le plan.
– Par un seul point $A$, on peut tracer une ligne droite dans toutes les directions possibles (vers le haut, le bas, la gauche, en diagonale…). Il y a donc une infinité de droites qui peuvent passer par un point unique.
– Dès que tu poses un deuxième point $B$, la direction de ta règle est verrouillée. Tu n’as pas d’autre choix que de tracer un seul trait unique qui relie les deux. Par deux points distincts, il ne passe donc qu’une seule et unique droite.

Correction de la Série 2 : Appartenance et Alignement

Correction de l’exercice 4 :
Il faut bien faire la différence entre l’objet limité (le segment) et l’objet infini (la droite).
a) Le point $M$ est placé entre $K$ et $L$. Il est donc sur le trait tracé entre les deux points. Il appartient au segment. On écrit : $M \in [KL]$.
b) Le point $P$ est dans le prolongement, donc en dehors de la zone entre $K$ et $L$. Il n’appartient pas au segment. On écrit : $P \notin [KL]$.
c) La droite $(KL)$ est la ligne infinie qui porte le segment. Puisque $P$ est dans le prolongement de cette ligne, il se trouve sur la droite infinie. Il appartient donc à la droite. On écrit : $P \in (KL)$.
d) Le point $Z$ est complètement ailleurs. Il n’est ni sur le segment, ni sur le prolongement de la ligne. Il n’appartient pas à la droite. On écrit : $Z \notin (KL)$.

Correction de l’exercice 5 :
Il faut visualiser l’ordre des points : $A$ puis $B$ puis $C$ sur une même ligne.
a) $B \in [AC]$ : Vrai. Le point $B$ est situé physiquement entre le point $A$ et le point $C$, il est donc bien posé sur le segment $[AC]$.
b) $C \in [AB)$ : Vrai. La demi-droite part de $A$, passe par $B$ et continue à l’infini dans cette direction. Puisque $C$ est « après » $B$ dans cette direction, la demi-droite va immanquablement passer dessus.
c) $A \in [BC)$ : Faux. Attention au piège ! La demi-droite $[BC)$ commence à $B$ et part vers l’infini en passant par $C$ (donc vers la droite). Le point $A$ est situé « avant » $B$, derrière son origine. La demi-droite ne l’atteindra jamais.
d) $D \in (AB)$ : Faux. L’énoncé indique clairement que le point $D$ n’est pas sur la ligne qui porte $A$, $B$ et $C$. Il n’appartient donc pas à la droite $(AB)$.

Correction de la Série 3 : Positions relatives des droites

Correction de l’exercice 6 :
Lorsque deux droites se croisent, elles partagent un seul et unique point. On appelle ces droites des droites sécantes. Le point précis où elles se chevauchent est appelé le point d’intersection.

Correction de l’exercice 7 :
C’est le cas particulier le plus célèbre des droites sécantes. Lorsqu’elles se croisent en formant un carrefour parfait avec quatre angles droits de $90^\circ$, on les appelle des droites perpendiculaires. Le symbole mathématique officiel utilisé pour indiquer cette propriété ressemble à un « T » à l’envers : c’est le symbole $\perp$.

Correction de l’exercice 8 :
Si deux droites sont tracées sur le même plan et qu’elles ne se croisent jamais, même si on voyage dessus sur des milliards de kilomètres, alors ce sont des droites parallèles. Le symbole mathématique qui représente deux traits verticaux espacés est utilisé : c’est le symbole $\parallel$.

Correction de la Série 4 : Raisonnement et Propriétés géométriques

Correction de l’exercice 9 :
Nous devons faire appel à l’une des propriétés fondamentales de la droite dans le plan étudiées dans le cours.
– Situation analysée : On a deux droites différentes, $(d_1)$ et $(d_2)$, qui ont un point commun : elles sont toutes les deux perpendiculaires à la même troisième droite (qui s’appelle $(d_3)$).
– Application de la propriété : Le théorème géométrique affirme que « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont obligatoirement parallèles entre elles ».
– Conclusion mathématique : On peut donc déduire avec une certitude absolue que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles. Mathématiquement, on écrit : $(d_1) \parallel (d_2)$.

Correction de l’exercice 10 :
C’est la situation inverse de l’exercice précédent.
– Analyse : Les deux rails initiaux, $(D_1)$ et $(D_2)$, sont déjà parallèles. La droite $(\Delta)$ vient frapper le premier rail à angle droit (elle est perpendiculaire).
– La règle du cours : La propriété dicte que « Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre ».
– Conclusion : Lorsque la droite $(\Delta)$ va continuer sa course et atteindre la droite $(D_2)$, elle la coupera obligatoirement en formant un angle droit. On peut conclure que la droite $(\Delta)$ sera perpendiculaire à $(D_2)$.

Correction de l’exercice 11 :
Voici la démonstration géométrique parfaite rédigée en trois étapes logiques, le Graal du collégien !
– On sait que : D’après l’énoncé du problème, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (car ce sont les côtés opposés d’un rectangle). De plus, l’énoncé nous informe que la droite $(d)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
– Or la propriété affirme que : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite qui est perpendiculaire à l’une est obligatoirement perpendiculaire à l’autre.
– Donc : Puisque $(d)$ est perpendiculaire à la première droite $(AB)$, elle est obligatoirement perpendiculaire à la seconde droite parallèle. On conclut avec certitude que la droite $(d)$ est perpendiculaire à la droite $(CD)$, ce qui s’écrit $(d) \perp (CD)$.

Correction de la Série 5 : Problèmes de construction et logique

Correction de l’exercice 12 :
Faisons une analyse logique de ta construction pas à pas.
1) Tu as créé $(d_1)$ perpendiculaire à $(d)$.
2) Ensuite, tu as créé $(d_2)$ perpendiculaire à $(d_1)$.
Mettons les choses dans un ordre qui correspond à nos propriétés du cours : la droite $(d)$ est perpendiculaire à $(d_1)$, et la droite $(d_2)$ est AUSSI perpendiculaire à $(d_1)$.
Nous avons donc deux droites distinctes ($(d)$ et $(d_2)$) qui sont toutes les deux perpendiculaires à une même troisième droite ($(d_1)$). D’après la règle absolue de géométrie, on peut affirmer que les droites $(d)$ et $(d_2)$ sont parallèles entre elles.

Correction de l’exercice 13 :
Si tu places trois points non alignés $A$, $B$ et $C$, tu formes les trois sommets d’un triangle invisible. En traçant les droites illimitées $(AB)$, $(AC)$ et $(BC)$, ces droites se croisent précisément sur les points que tu as placés.
La droite $(AB)$ croise $(AC)$ au point $A$.
La droite $(AB)$ croise $(BC)$ au point $B$.
La droite $(AC)$ croise $(BC)$ au point $C$.
Il n’y a aucun autre croisement possible. Il y a donc exactement $3$ points d’intersection sur la figure.

Correction de l’exercice 14 :
Un carré $ABCD$ (nommé dans l’ordre en tournant autour de la figure) possède $4$ angles droits et ses côtés opposés sont parallèles.
Les paires de droites perpendiculaires (les coins du carré) :
– La droite $(AB)$ est perpendiculaire à $(BC)$ : $(AB) \perp (BC)$.
– La droite $(BC)$ est perpendiculaire à $(CD)$ : $(BC) \perp (CD)$.
– La droite $(CD)$ est perpendiculaire à $(DA)$ : $(CD) \perp (DA)$.
– La droite $(DA)$ est perpendiculaire à $(AB)$ : $(DA) \perp (AB)$.
Les paires de droites parallèles (les bords opposés) :
– Le bord du haut est parallèle au bord du bas : $(AB) \parallel (CD)$.
– Le bord de gauche est parallèle au bord de droite : $(AD) \parallel (BC)$.

Correction de l’exercice 15 (Le défi de l’ingénieur) :
Traduisons le problème concret de l’ingénieur en langage et notations géométriques de la droite dans le plan.
– « Deux routes parallèles $(R_1)$ et $(R_2)$ » se traduit mathématiquement par : $(R_1) \parallel (R_2)$.
– « La rivière $(R_3)$ coupe la route $(R_1)$ à angle droit » se traduit par : $(R_3) \perp (R_1)$.
Nous sommes exactement dans la configuration de la propriété numéro 3 de notre cours !
Le raisonnement justifié : On sait que la droite $(R_1)$ est parallèle à $(R_2)$, et que la droite $(R_3)$ est perpendiculaire à $(R_1)$. Or, la règle géométrique dit que si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc, la droite $(R_3)$ est obligatoirement perpendiculaire à $(R_2)$.
La conclusion pour l’ingénieur : La route $(R_2)$ va traverser la rivière en formant un angle parfaitement droit (de $90^\circ$). La construction du pont se fera donc à la perpendiculaire exacte des berges !