Un triangle est une figure géométrique fondamentale possédant quatre types de droites particulières, appelées **droites remarquables**. Chacune d’elles possède une propriété unique et leur intersection définit un point spécial pour le triangle. Dans ce cours, nous les étudions une par une.
I. Les Médiatrices
La **médiatrice** d’un segment est la droite qui coupe ce segment en son milieu et qui lui est perpendiculaire.
Propriété caractéristique : Tout point de la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un point unique, noté généralement $O$.
Ce point $O$, appelé le **centre du cercle circonscrit** (ou **cercle circonscrit**), est équidistant des trois sommets du triangle ($OA = OB = OC$).
Le cercle circonscrit passe par les trois sommets du triangle.
II. Les Hauteurs
La **hauteur** relative à un côté d’un triangle est la droite qui passe par le sommet opposé à ce côté et qui est **perpendiculaire** au support de ce côté.
On peut dire simplement que c’est la distance entre un sommet et le côté opposé.
Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un point unique, noté généralement $H$.
Ce point $H$ est appelé l’**orthocentre** du triangle.
L’orthocentre peut être à l’intérieur du triangle (aigu), à l’extérieur (obtus), ou coïncider avec un sommet (rectangle).
III. Les Médianes
La **médiane** relative à un côté d’un triangle est la droite qui passe par le sommet opposé à ce côté et par le **milieu** de ce côté.
La médiane divise le triangle en deux triangles de même aire (ou de même surface).
Les trois médianes d’un triangle se coupent en un point unique, noté généralement $G$.
Ce point $G$ est appelé le **centre de gravité** (ou **centroïde**) du triangle. Si le triangle est découpé dans un matériau uniforme, c’est le point d’équilibre.
Le centre de gravité possède la propriété remarquable suivante : il est situé aux $\mathbf{2/3}$ de la longueur de la médiane en partant du sommet.
$$ AG = \frac{2}{3} AI \quad \text{(où } I \text{ est le milieu de } [BC]) $$IV. Les Bissectrices
La **bissectrice** d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
Propriété caractéristique : Tout point situé sur la bissectrice d’un angle est équidistant des deux côtés de cet angle.
Les trois bissectrices intérieures d’un triangle se coupent en un point unique, noté généralement $I$.
Ce point $I$ est appelé le **centre du cercle inscrit** (ou **cercle inscrit**). Il est équidistant des trois côtés du triangle (cette distance est le rayon $r$ du cercle inscrit).
Le cercle inscrit est tangent aux trois côtés du triangle.
V. Exercices de Synthèse
Soit un triangle $EFG$ quelconque. Les droites $(d_1)$, $(d_2)$, $(d_3)$ sont les trois droites remarquables.
- Si $(d_1)$ est la droite qui passe par $E$ et le milieu de $[FG]$, comment nomme-t-on $(d_1)$ ? Quel est le point de concours des trois droites de ce type ?
- Si un point $M$ est situé sur la médiatrice du côté $[EF]$, quelle relation de distance est vérifiée ?
- Si $\triangle EFG$ est rectangle en $E$, où se situe l’orthocentre $H$ ?
- La droite $(d_1)$ est une **médiane**. Le point de concours des trois médianes est le **centre de gravité** ($G$).
- Tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités du segment. La relation vérifiée est donc : $$ ME = MF $$
- Si un triangle est rectangle en $E$, deux de ses hauteurs coïncident avec les côtés adjacents à l’angle droit ($[EF]$ est la hauteur relative à $[EG]$, et $[EG]$ est la hauteur relative à $[EF]$). Par conséquent, l’orthocentre $H$ se situe sur le **sommet de l’angle droit**, soit au point $E$.