Élément Neutre et sa Définition
Après l’associativité et la commutativité, l’existence d’un élément neutre est l’une des propriétés les plus importantes que peut posséder une loi de composition interne. Un élément neutre est un élément « spécial » qui, lorsqu’il est composé avec n’importe quel autre, le laisse inchangé.
Définition : Élément Neutre
Soit $(E, \star)$ un magma. Un élément $e \in E$ est appelé élément neutre si, pour tout élément $x \in E$, on a : $$ x \star e = e \star x = x $$
- Si on a seulement $e \star x = x$ pour tout $x$, on dit que $e$ est un élément neutre à gauche.
- Si on a seulement $x \star e = x$ pour tout $x$, on dit que $e$ est un élément neutre à droite.
Proposition : Unicité de l’Élément Neutre
S’il existe un élément neutre pour une loi de composition interne, alors il est unique.
Exemples
- Pour l’addition (+) sur $\mathbb{Z}$ : L’élément neutre est 0, car pour tout entier $x$, on a $x + 0 = 0 + x = x$.
- Pour la multiplication ($\times$) sur $\mathbb{R}$ : L’élément neutre est 1, car pour tout réel $x$, on a $x \times 1 = 1 \times x = x$.
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La soustraction (-) sur $\mathbb{Z}$ :
- 0 est un neutre à droite ($x – 0 = x$), mais pas à gauche ($0 – x = -x \neq x$ en général).
- Cette loi n’admet donc pas d’élément neutre.
- La composition de fonctions ($\circ$) : Sur l’ensemble $\mathcal{F}(E, E)$, l’élément neutre est l’application identité $Id_E$, définie par $Id_E(x) = x$. Pour toute fonction $f$, on a $f \circ Id_E = Id_E \circ f = f$.
- La multiplication matricielle : Sur l’ensemble des matrices carrées $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, l’élément neutre est la matrice identité $I_n$.
Définition : Monoïde
Un magma $(E, \star)$ qui possède une loi associative et un élément neutre est appelé un monoïde.