Éléments Symétrisables ou Inversibles
Lorsqu’une loi de composition interne possède un élément neutre, on peut se demander si, pour un élément donné, il existe un « compagnon » qui, composé avec lui, redonne l’élément neutre. C’est la notion d’élément symétrique, ou d’inverse.
Soit $(E, \star)$ un magma possédant un élément neutre $e$. Un élément $x \in E$ est dit symétrisable (ou inversible) s’il existe un élément $x’ \in E$ tel que : $$ x \star x’ = x’ \star x = e $$ L’élément $x’$ est alors appelé le symétrique (ou l’inverse) de $x$.
Terminologie : Symétrique vs. Inverse
- On parle généralement de symétrique pour une loi notée additivement (comme $+$). Le symétrique de $x$ est alors noté $-x$.
- On parle généralement d’inverse pour une loi notée multiplicativement (comme $\times$ ou $\circ$). L’inverse de $x$ est alors noté $x^{-1}$.
Si la loi $\star$ est associative, alors le symétrique d’un élément, s’il existe, est unique.
Exemples
- Pour l’addition (+) sur $\mathbb{Z}$ : L’élément neutre est 0. Tout entier $x$ admet un symétrique, son opposé $-x$, car $x + (-x) = (-x) + x = 0$.
- Pour la multiplication ($\times$) sur $\mathbb{R}$ : L’élément neutre est 1. Tout réel $x$ non nul est inversible, et son inverse est $1/x$. L’élément 0 n’est pas inversible.
- Pour la multiplication ($\times$) sur $\mathbb{Z}$ : Les seuls éléments inversibles sont 1 et -1. Par exemple, l’inverse de 2 serait 1/2, qui n’est pas un entier.
- La composition de fonctions ($\circ$) : Sur l’ensemble $\mathcal{F}(E, E)$, les éléments inversibles sont les applications bijectives. L’inverse de $f$ est sa bijection réciproque $f^{-1}$.
Un magma $(G, \star)$ est un groupe si :
- La loi $\star$ est associative.
- Il existe un élément neutre.
- Tout élément de $G$ est symétrisable.