Symétrie suivant une Direction
Soit $E$ un K-espace vectoriel, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires ($E = F \oplus G$).
- La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application $s : E \to E$ qui à un vecteur $x = x_1 + x_2$ (avec la décomposition unique $x_1 \in F$ et $x_2 \in G$) associe le vecteur $s(x) = x_1 – x_2$.
- Plus généralement, on appelle symétrie vectorielle (ou involution linéaire) tout endomorphisme $u$ de $E$ qui est son propre inverse, c’est-à-dire qui vérifie $u^2 = u \circ u = Id_E$.
Remarque
Soit $s$ la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$. On a les propriétés suivantes :
- $s$ est un endomorphisme de $E$ et $s^2 = Id_E$.
- $F$ est le sous-espace des vecteurs invariants ($F = Ker(s – Id_E)$) et $G$ est le sous-espace des vecteurs anti-invariants ($G = Ker(s + Id_E)$).
- $s$ est liée à la projection $p$ sur $F$ par la relation $s = 2p – Id_E$.
Soit $u$ une symétrie vectorielle d’un K-espace vectoriel $E$. Alors :
- L’espace $E$ est la somme directe des sous-espaces propres associés aux valeurs propres 1 et -1 : $E = Ker(u – Id_E) \oplus Ker(u + Id_E)$.
- $u$ est la symétrie par rapport au sous-espace $F = Ker(u – Id_E)$ parallèlement au sous-espace $G = Ker(u + Id_E)$.
Définition et Propriétés d’une Symétrie Orthogonale
Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On appelle symétrie orthogonale par rapport à F, notée $s_F$, la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à son supplémentaire orthogonal $F^\perp$.
Remarque
- La symétrie orthogonale par rapport à $F^\perp$ est $s_{F^\perp} = -s_F$.
- Le noyau de $(s_F – Id_E)$ est $F$, et le noyau de $(s_F + Id_E)$ est $F^\perp$.
- Si $p_F$ est la projection orthogonale sur $F$, alors $s_F = 2p_F – Id_E$.
- Une symétrie orthogonale conserve la norme : $\forall x \in E, \|s_F(x)\| = \|x\|$.
Soit $u$ une symétrie vectorielle ($u^2=Id_E$) d’un espace euclidien $E$. Les propositions suivantes sont équivalentes :
- $u$ est une symétrie orthogonale.
- $u$ est un endomorphisme autoadjoint (symétrique), i.e., $u^* = u$.
- $u$ est une isométrie, i.e., $u$ conserve la norme : $\forall x \in E, \|u(x)\| = \|x\|$.
Démonstration
(i $\implies$ ii) Si $u$ est une symétrie orthogonale, $u=2p-Id_E$ où $p$ est une projection orthogonale. On sait que $p$ est autoadjoint ($p^*=p$). Donc $u^* = (2p-Id_E)^* = 2p^* – Id_E^* = 2p – Id_E = u$.
(ii $\implies$ iii) Si $u^*=u$, alors pour tout $x \in E$, on a :
$\|u(x)\|^2 = \langle u(x), u(x) \rangle = \langle x, u^*(u(x)) \rangle = \langle x, u^2(x) \rangle$.
Comme $u$ est une symétrie, $u^2=Id_E$, donc $\|u(x)\|^2 = \langle x, x \rangle = \|x\|^2$.
(iii $\implies$ i) Supposons que $u$ conserve la norme. Soit $p = \frac{1}{2}(u+Id_E)$. On vérifie que $p$ est un projecteur. Montrons que c’est une projection orthogonale en montrant qu’elle est contractante. Par l’inégalité triangulaire et l’hypothèse :
$\|p(x)\| = \frac{1}{2}\|u(x)+x\| \le \frac{1}{2}(\|u(x)\| + \|x\|) = \frac{1}{2}(\|x\| + \|x\|) = \|x\|_E$.
Un projecteur qui est une contraction est une projection orthogonale. Comme $u=2p-Id_E$, $u$ est une symétrie orthogonale.