Ensembles à la fois Ouverts et Fermés
En topologie, les notions d’ « ouvert » et de « fermé » ne sont pas mutuellement exclusives comme on pourrait le penser intuitivement. Un ensemble peut parfaitement être les deux à la fois. De tels ensembles sont parfois appelés « clopen » (mot-valise anglais pour closed-open).
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. Une partie $A \subseteq X$ est dite ouverte-fermée si elle est à la fois un ensemble ouvert (c’est-à-dire $A \in \mathcal{T}$) et un ensemble fermé (c’est-à-dire que son complémentaire $X \setminus A$ est un ouvert).
Exemples Fondamentaux
1. Les exemples triviaux
Dans n’importe quel espace topologique $(X, \mathcal{T})$, il existe toujours au moins deux ensembles ouverts-fermés :
- L’ensemble vide $\emptyset$ est ouvert par axiome. Son complémentaire est $X$, qui est aussi ouvert par axiome. Donc, $\emptyset$ est fermé. Par conséquent, $\emptyset$ est ouvert-fermé.
- L’ensemble total $X$ est ouvert par axiome. Son complémentaire est $\emptyset$, qui est aussi ouvert par axiome. Donc, $X$ est fermé. Par conséquent, $X$ est ouvert-fermé.
2. La topologie discrète
Dans un espace muni de la topologie discrète, toutes les parties sont des ouverts. Si une partie $A$ est un ouvert, son complémentaire $X \setminus A$ est aussi une partie de $X$, et donc un ouvert. Cela signifie que $A$ est également un fermé.
Conclusion : Dans un espace discret, toutes les parties sont ouvertes-fermées.
Lien avec la Connexité
La présence d’ensembles ouverts-fermés autres que $\emptyset$ et $X$ est intimement liée à la notion de connexité.
En effet, un espace topologique $X$ est dit non connexe s’il existe une partie propre non vide $A$ de $X$ (c’est-à-dire $A \neq \emptyset$ et $A \neq X$) qui est à la fois ouverte et fermée.
Par exemple, l’ensemble $Y = [0, 1] \cup [2, 3]$ muni de la topologie induite par $\mathbb{R}$ n’est pas connexe. La partie $A = [0, 1]$ est à la fois ouverte et fermée dans $Y$.